2004年湖北高考理科数学真题及答案

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2004 年湖北高考理科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60 分）
1．（5分）与直线
2 4 0x y  
的平行的抛物线
2
y x
的切线方程是
(
　　
)
A．
2 3 0x y  
B．
2 3 0x y  
C．
2 1 0x y  
D．
2 1 0x y  
2．（5分）复数
2
( 1 3 )
1 3
i
i
 
的值是
(
　　
)
A．
2
B．16 C．
1
4
D．
1 3
4 4 i
3．（5分）已知
，则
( )f x
的解析式为
(
　　
)
A．
2
( ) 1
x
f x x
B．
2
2
( ) 1
x
f x x
 
C．
2
2
( ) 1
x
f x x
D．
2
( ) 1
x
f x x
 
4．（5分）已知
, ,a b c
 
为非零的平面向量．甲：
a b a c
 
 
，乙：
b c
，则
(
　　
)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．（5分）若
1 1 0
a b
 
，则下列不等式
①
a b ab 
；
②
| | | |a b
；
③
a b
；
④
2
b a
a b
 
中，正确的不等式有
(
　　
)
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（5分）已知椭圆
2 2
1
16 9
x y
 
的左、右焦点分别为
1
F
、
2
F
，点
P
在椭圆上．若
P
、
1
F
、
2
F
是一个直角三
角形的三个顶点，则点
P
到
x
轴的距离为
(
　　
)
A．
9
5
B．3 C．
9 7
7
D．
9
4
7．（5分）函数
( ) log ( 1)
x
a
f x a x 
在
[0
，
1]
上的最大值与最小值的和为
a
，则
a
的值为
(
　　
)
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A．
1
4
B．
1
2
C．2 D．4
8．（5分）已知数列
{ }
n
a
的前
n
项和
1 1
1 1
[2 ( ) ] [2 ( 1)( ) ]( 1, 2, )
2 2
n n
n
S a b n n
 
 
，其中
a
、
b
是非零常数，
则存在数列
{ }
n
x
、
{ }
n
y
使得
(
　　
)
A．
n n n
a x y 
，其中
{ }
n
x
为等差数列，
{ }
n
y
为等比数列
B．
n n n
a x y 
，其中
{ }
n
x
和
{ }
n
y
都为等差数列
C．
n n n
a x y
，其中
{ }
n
x
为等差数列，
{ }
n
y
都为等比数列
D．
n n n
a x y
，其中
{ }
n
x
和
{ }
n
y
都为等比数列
9．（5分）函数
3
( ) 1f x ax x  
有极值的充要条件是
(
　　
)
A．
0a
B．
0a…
C．
0a
D．
0a„
10．（5分）设集合
{ | 1 0}P m m  
，
2
{ | 4 4 0Q m R mx mx  
对任意实数
x
恒成立
}
，则下列关系中
成立的是
(
　　
)
A．
P QÜ
B．
Q PÜ
C．
P Q
D．
P Q Q
11．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①
BM
与
ED
平行；
②
CN
与
BE
是异面直线；
③
CN
与
BM
成
60
角；
④
DM
与
BN
垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是
(
　　
)
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
12．（5分）设
( )y f t
是某港口水的深度
y
（米
)
关于时间
t
（时
)
的函数，其中
0 24t„ „
，下表是该港口某
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一天从 0时至 24 时记录的时间
t
与水深
y
的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经观察，
( )y f t
可以近似看成
sin( )y K A x
 
 
的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关
系的函数是
(
　　
)
A．
12 3sin 6
y t
 
，
[0t
，
24]
B．
12 3sin( )
6
y t
 
，
[0t
，
24]
C．
12 3sin 12
y t
 
，
[0t
，
24]
D．
12 3sin( )
12 2
y t
 
 
，
[0t
，
24]
二、填空题（共 4小题，每小题 4分，满分 16 分）
13．（4分）设随机变量
的概率分布为
 
, , 1, 2, ,
5k
a
P k a k a
  为常数 则
　 　．
14．（4分）将标号为 1，2，
，10 的10 个球放入标号为 1，2，
，10 的10 个盒子内，每个盒内放一个
球，则恰好有 3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有　 　种．（以数字作答）
15．（4分）设
A
、
B
为两个集合．下列四个命题：
①
A B à
对任意
x A
，有
x B
；
②
A B A B  
à
；
③
A B A Bà á
；
④
A B à
存在
x A
，使得
x B
．
其中真命题的序号是　 　．（把符合要求的命题序号都填上）
16．（4分）某日中午 12 时整，甲船自
A
处以
16 /km h
的速度向正东行驶，乙船自
A
的正北
18km
处以
24 /km h
的速度向正南行驶，则当日 12 时30 分时两船之间距间对时间的变化率是　 　
/km h
．
三、解答题（共 6小题，满分 74 分）
17．（12 分）已知
6sin 2 sin cos 2cos 2 0
 
 
，
[2
，
]
，求
sin(2 )
3
的值．
18．（12 分）如图，在棱长为 1的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，点
E
是棱
BC
的中点，点
F
是棱
CD
上的动
点．
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( )I
试确定点
F
的位置，使得
1
D E
平面
1
AB F
；
( )II
当
1
D E
平面
1
AB F
时，求二面角
1
C EF A 
的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．（12 分）如图，在
Rt ABC
中，已知
BC a
，若长为
2a
的线段
PQ
以点
A
为中点，问
PQ BC
 
与
的夹角
取何值时
BP CQ
 
的值最大？并求出这个最大值．
20．（12 分）直线
: 1l y kx 
与双曲线
2 2
: 2 1C x y 
的右支交于不同的两点
A
、
B
．
（Ⅰ）求实数
k
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数
k
，使得以线段
AB
为直径的圆经过双曲线
C
的右焦点
F
？若存在，求出
k
的值；若不
存在，说明理由．
21．（12 分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成 400 万元
的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45
万元和 30 万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和0.85．若预防方案允许甲、乙
两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用
采取预防措施的
费用
发生突发事件损失的期望值．
)
22．（14 分）已知
 
1 1
1
0, , , 1, 2,
n n
n
a a a a a a n
a
  数列 满足
．
( )I
已知数列
{ }
n
a
极限存在且大于零，求
lim n
n
A a

（将
A
用
a
表示）；
( )II
设
 
1
, 1, 2, , : n
n n n
n
b
b a A n b A b A
 
证明
；
( )III
若
11, 2,
2
nn
b n  对„
都成立，求
a
的取值范围．
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