2004年广西高考理科数学真题及答案

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2004 年广西高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
（1）已知集合
M
＝{
x
|
x
2＜4 ，
N
＝{
x
|
x
2－2
x
－3＜0 ，则集合
M
∩
N
＝
（A）{
x
|
x
＜－2 　　　　 （B）{
x
|
x
＞3}　　　　　（C）{
x
|－1＜
x
＜2 　 （D）{
x
|2＜x
＜3
（2） ＝
（A） 　　　　　　 （B）1　　　　　　　（C） 　　　 （D）
（3）设复数
ω
＝－ ＋
i
，则 1＋
ω
＝
（A）–
ω
　　　　 （B）
ω
2　　　　　（C） 　　　　　 　　（D）
（4）已知圆
C
与圆(
x
－1)2＋
y
2＝1 关于直线
y
＝－
x
对称，则圆
C
的方程为
（A）(
x
＋1)2＋
y
2＝1　　　（B）
x
2＋
y
2＝1　　　（C）
x
2＋(
y
＋1)2＝1　　　 （D）
x
2＋(
y
－1)2＝
1
（5）已知函数
y
＝tan(2
x
＋
φ
)的图象过点( ,0)，则
φ
可以是
（A）－ 　　　　　（B） 　　　　　　（C）－ 　　　　 　（D）
（6）函数
y
＝－
ex
的图象
（A）与
y
＝
ex
的图象关于
y
轴对称　　　　（B）与
y
＝
ex
的图象关于坐标原点对称
（C）与
y
＝
e
－
x
的图象关于
y
轴对称　　　（D）与
y
＝
e
－
x
的图象关于坐标原点对称
（7）已知球
O
的半径为 1，
A
、
B
、
C
三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 ，则球心
O
到平面
ABC
的距离为
（A） 　　　　　　　　（B） 　　　 　　　（C） 　　　 　　（D）
（8）在坐标平面内，与点
A
(1，2)距离为 1，且与点
B
(3，1)距离为 2 的直线共有
（A）1 条　　　　　　 　（B）2 条　　　　　　　（C）3 条　　　　　　（D）4 条
（9）已知平面上直线 的方向向量 ，点
O
(0,0)和
A
(1,-2)在 上的射影分别是
O
1和
A
1，则
＝ ，其中 ＝
（A） 　　　　　　　（B）－ 　　　　　　　（C）2　　　　　　（D）－2
（10）函数
y
＝
x
cos
x
－sin
x
在下面哪个区间内是增函数
（A）( ， )　　　（B）( ，2 )　　 （C）( ， )　　 　（D）(2 ，3 )
（11）函数
y
＝sin4
x
＋cos2
x
的最小正周期为
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（A） 　　　　　　　　（B） 　　　　　　　　（C） 　　　　　　（D）2
（12）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有
（A）56 个　　　　　（B）57 个　　　　　（C）58 个　　　　　　（D）60 个
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上．
（13）从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有
ξ
个红球，则随机变量
ξ
的概率分布
为
ξ
012
P
（14）设
x
，
y
满足约束条件 则
z
＝3
x
＋2
y
的最大值是 ．
（15）设中心在原点的椭圆与双曲线 2
x
2－2
y
2＝1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的
方程是 ．
（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过
相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是　　 　(写出所
有真命题的编号)．
三、 解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17） (本小题满分 12 分)已知锐角三角形
ABC
中，sin(
A
＋
B
)＝ ，sin(
A
－
B
)＝ ．
(Ⅰ)求证：tan
A
＝2tan
B
；
(Ⅱ)设
AB
＝3，求
AB
边上的高．
（18）(本小题满分 12 分)
已知 8 个球队中有 3 个弱队，以抽签方式将这 8 个球队分为
A
、
B
两组，每组 4 个．求
(Ⅰ)
A
、
B
两组中有一组恰有两个弱队的概率；
(Ⅱ)
A
组中至少有两个弱队的概率．
（19）(本小题满分 12 分)
数列{
an
}的前
n
项和记为
Sn
，已知
a
1＝1，
an
＋1＝
Sn
（
n
＝1，2，3，…）．证明：
(Ⅰ)数列{ }是等比数列；
(Ⅱ)
Sn
＋1＝4
an
．
（20）(本小题满分 12 分) ．
如图，直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1中，∠
ACB
＝90o，
AC
＝1，
CB
＝ ，侧棱
AA
1＝1，侧面 AA1B1B 的两条对
角线交点为
D
，
B
1
C
1的中点为
M
．
(Ⅰ)求证：
CD
⊥平面
BDM
；
(Ⅱ)求面
B
1
BD
与面
CBD
所成二面角的大小．
（21）(本小题满分 12 分) 给定抛物线
C
：
y
2＝4
x
，
F
是
C
的焦点，过点
F
的直线
l
与
C
相交于
A
、
B
两点．
(Ⅰ)设
l
的斜率为 1，求 与 夹角的大小；
(Ⅱ)设 ＝ ，若 ∈[4，9]，求
l
在
y
轴上截距的变化范围．
(22)(本小题满分 14 分)已知函数
f
(
x
)＝ln(1＋
x
)－
x
，
g
(
x
)＝
x
ln
x
．
(1)求函数
f
(
x
)的最大值；
(2)设 0＜
a
＜
b
，证明：0＜
g
(
a
)＋
g
(
b
)－2
g
( )＜(
b
－
a
)ln2．
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