2004年福建高考文科数学真题及答案

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2004 年福建高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60 分）
1．（5分）已知全集
{1U
，2，3，4，
5}
，
{1A
，2，
3}
，
{3B
，
4}
，则
( ) (
UA B
ð
　　
)
A．
{3}
B．
{5}
C．
{1
，2，4，
5}
D．
{1
，2，3，
4}
2．（5分）
等于
(
　　
)
A．2 B．
2 3
C．4 D．
4 3
3
3．（ 5分 ） 命 题
p
： 若
a
、
b R
， 则
| | | | 1a b 
是
| | 1a b 
的充分而不必要条件；命题
q
： 函 数
| 1| 2y x  
的定义域是
(
，
1] [3
，
)
，则
(
　　
)
A．“
p
或
q
”为假 B．“
p
且
q
”为真 C．
p
真
q
假D．
p
假
q
真
4．（5分）已知
1
F
，
2
F
是椭圆的两个焦点，过
1
F
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
A
，
B
两点，若
2
ABF
是正三角形，则这个椭圆的离心率是
(
　　
)
A．
2
2
B．
2
3
C．
3
3
D．
3
2
5．（5分）设
n
S
是等差数列
{ }
n
a
的前
n
项和，若
5 9
3 5
5, (
9
a S
a S
 则
　　
)
A．1 B．
1
C．2 D．
1
2
6．（5分）已知
m
、
n
是不重合的直线，
、
是不重合的平面，有下列命题：
①若
m
，
/ /n
，则
/ /m n
；
②若
/ /m
，
/ /m
，则
/ /
 
；
③若
n
 
，
/ /m n
，则
/ /m
且
/ /m
；
④若
m
，
m
，则
/ /
 
．
其中真命题的个数是
(
　　
)
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）已知函数
2
logy x
的反函数是
1( )y f x
，则函数
1(1 )y f x
 
的图象是
(
　　
)
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A．B．
C．D．
8．（5分）已知
,a b
是非零向量且满足
(3 ) ,(4 )a b a a b b   
 
 
，则
a b
与
的夹角是
(
　　
)
A．
6
B．
3
C．
2
3
D．
5
6
9．（5分）已知
8
( )
a
xx
展开式中常数项为 1120，其中实数
a
是常数，则展开式中各项系数的和是
(
　　
)
A．
8
2
B．
8
3
C．1或
8
3
D．1或
8
2
10．（5分）如图，
A
、
B
、
C
是表面积为
48
的球面上三点，
2AB
，
4BC
，
60ABC  
，
O
为球心，
则直线
OA
与截面
ABC
所成的角是
(
　　
)
A．
3
arcsin 6
B．
3
arccos 6
C．
3
arcsin 3
D．
3
arccos 3
11．（5分）定义在
R
上的偶函数
( )f x
满足
，当
[3x
，
4]
时，
( ) 2f x x 
，则
(
　　
)
A．
1 1
(sin ) (cos )
2 2
f f
B．
(sin ) (cos )
3 3
f f
 
C．
(sin1) (cos1)f f
D．
3 3
(sin ) (cos )
2 2
f f
12．（5分）把标有号码 1，2，3，
，10 的10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号
码为小于 7的奇数的概率是
(
　　
)
A．
3
10
B．
7
10
C．
2
5
D．
3
5
二、填空题（共 4小题，每小题 4分，满分 16 分）
13．（4分）直线
2 0x y 
被曲线
2 2 6 2 15 0x y x y  
所截得的弦长等于　 　．
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14．（4分）设函数
11 ( 0)
2
( ) 1( 0)
x x
f x
x
x
…
若
f
（a）
a
，则实数
a
的取值范围是　 　．
15．（4分）一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0，1，2，
，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组
号依次为 1，2，3，
，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1组随机抽取
的号码为
m
，那么在第
k
小组中抽取的号码个位数字与
m k
的个位数字相同．若
6m
，则在第 7组中
抽取的号码是　　．
16．（4分）如图，将边长为 1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一
个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为　 　时，其容积最大．
三、解答题（共 6小题，满分 74 分）
17．（12 分）设函数
( )f x a b
，其中向量
(2cos ,1)a x
，
(cos , 3 sin 2 )b x x
，
x R
．
（1）若
( ) 1 3f x  
，且
[3
x
 
，
]
3
，求
x
；
（2）若函数
2sin 2y x
的图象按向量
( , )c m n
，
(| | )
2
m
平移后得到函数
( )y f x
的图象，求实数
m
、
n
的值．
18．（12 分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6
道题，乙能答对其中的 8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3道题进行测试，至少答对 2道题
才能入选．
( )I
求甲答对试题数
的分布列及数学期望；
( )II
求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
19 ．（ 12 分 ） 在 三 棱 锥
S ABC
中 ，
ABC
是 边 长 为 4的正三角形，平面
SAC
平 面
ABC
，
2 2SA SC 
，
M
为
AB
的中点．
（Ⅰ）证明：
AC SB
；
（Ⅱ）求二面角
S CM B 
的大小；
（Ⅲ）求点
B
到平面
SCM
的距离．
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20．（12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不
能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万
元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第
n
年（今年为第一年）的利润为
1
500(1 )
2n
万元
(n
为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前
n
年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
n
A
万元，进行技术改造后的累计纯
利润为
n
B
万元（须扣除技术改造资金），求
n
A
、
n
B
的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造
的累计纯利润？
21．（12 分）如图，
P
是抛物线
2
1
:2
C y x
上一点，直线
l
过点
P
并与抛物线
C
在点
P
的切线垂直，
l
与抛
物线
C
相交于另一点
Q
．
（Ⅰ）当点
P
的横坐标为 2时，求直线
l
的方程；
（Ⅱ）当点
P
在抛物线
C
上移动时，求线段
PQ
中点
M
的轨迹方程，并求点
M
到
x
轴的最短距离．
22．（14 分）已知
2 3
2
( ) 4 ( )
3
f x x ax x x R 
在区间
[ 1
，
1]
上是增函数．
（Ⅰ）求实数
a
的值组成的集合
A
；
（Ⅱ）设关于
x
的方程
3
1
( ) 2 3
f x x x 
的两个非零实根为
1
x
、
2
x
．试问：是否存在实数
m
，使得不等式
2
1 2
1 | |m tm x x  …
对任意
a A
及
[ 1t 
，
1]
恒成立？若存在，求
m
的取值范围；若不存在，请说明理
由．
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