2004年福建高考文科数学真题及答案

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2004 年福建高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）已知全集 ，2，3，4， ， ，2， ， ， ，则 　　
A． B． C． ，2，4， D． ，2，3，
2．（5 分） 等于 　　
A．2 B． C．4 D．
3．（5 分）命题 ：若 、 ，则 是 的充分而不必要条件；命题 ：函数
的定义域是 ， ， ，则 　　
A．“ 或 ”为假 B．“ 且 ”为真 C． 真 假 D． 假 真
4．（5 分）已知 ， 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率是 　　
A． B． C． D．
5．（5 分）设 是等差数列 的前 项和，若 　　
A．1 B． C．2 D．
6．（5 分）已知 、 是不重合的直线， 、 是不重合的平面，有下列命题：
① 若 ， ，则 ；
② 若 ， ，则 ；
③ 若 ， ，则 且 ；
④ 若 ， ，则 ．
其中真命题的个数是 　　
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5 分）已知函数 的反函数是 ，则函数 的图象是 　　
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A． B．
C． D．
8．（5 分）已知 是非零向量且满足 ，则 的夹角是 　　
A． B． C． D．
9．（5 分）已知 展开式中常数项为 1120，其中实数 是常数，则展开式中各项系数的和是 　　
A． B． C．1 或 D．1 或
10．（5 分）如图， 、 、 是表面积为 的球面上三点， ， ， ， 为球
心，则直线 与截面 所成的角是 　　
A． B． C． D．
11．（5 分）定义在 上的偶函数 满足 ，当 ， 时， ，则 　　
A． B．
C． D．
12．（5 分）把标有号码 1，2，3， ，10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号
码为小于 7 的奇数的概率是 　　
A． B． C． D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
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13．（4 分）直线 被曲线 所截得的弦长等于　 　 ．
14．（4 分）设函数 若 （a） ，则实数 的取值范围是　 　 ．
15．（4 分）一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0，1，2， ，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，
组号依次为 1，2，3， ，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机
抽取的号码为 ，那么在第 小组中抽取的号码个位数字与 的个位数字相同．若 ，则在第 7
组中抽取的号码是　　．
16．（4 分）如图，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成
一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为　 　 时，其容积最大．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）设函数 ，其中向量 ， ， ．
（1）若 ，且 ， ，求 ；
（2）若函数 的图象按向量 ， 平移后得到函数 的图象，求实数 、
的值．
18．（12 分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6
道题，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，至少答对 2 道题
才能入选．
求甲答对试题数 的分布列及数学期望；
求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
19 ． （ 12 分 ） 在 三 棱 锥中， 是边长为 4 的正三角形，平面 平面 ，
， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
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（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
20．（12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若
不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600
万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情 况 下，第 年（今年为第一年）的利 润 为
万元 为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯
利润为万元（须扣除技术改造资金），求 、 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造
的累计纯利润？
21．（12 分）如图， 是抛物线 上一点，直线 过点 并与抛物线 在点 的切线垂直， 与
抛物线 相交于另一点 ．
（Ⅰ）当点 的横坐标为 2 时，求直线 的方程；
（Ⅱ）当点 在抛物线 上移动时，求线段中点 的轨迹方程，并求点 到 轴的最短距离．
22．（14 分）已知 在区间 ， 上是增函数．
（Ⅰ）求实数 的值组成的集合 ；
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