2004年福建高考理科数学真题及答案

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2004 年福建高考理科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60 分）
1．（5分）复数
10
1
( )
1
i
i
的值是
(
　　
)
A．
1
B．1 C．
32
D．32
2．（5分）
tan15 cot15 
等于
(
　　
)
A．2 B．
2 3
C．4 D．
4 3
3
3．（ 5分 ） 命 题
p
： 若
、
b R
， 则
| | | | 1a b 
是
| | 1a b 
的充分而不必要条件；命题
： 函 数
| 1| 2y x  
的定义域是
(
，
1] [3
，
)
，则
(
　　
)
A．“
p
或
”为假 B．“
p
且
”为真 C．
p
真
假D．
p
假
真
4．（5分）已知
1
F
，
2
F
是椭圆的两个焦点，过
1
F
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
A
，
B
两点，若
2
ABF
是正三角形，则这个椭圆的离心率是
(
　　
)
A．
2
2
B．
2
3
C．
3
3
D．
3
2
5．（5分）已知
m
、
是不重合的直线，
、
是不重合的平面，有下列命题：
①若
m
，
/ /n
，则
/ /m n
；
②若
/ /m
，
/ /m
，则
/ /
 
；
③若
n
 
，
/ /m n
，则
/ /m
且
/ /m
；
④若
m
，
m
，则
/ /
 
．
其中真命题的个数是
(
　　
)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2
名，则不同的安排方案种数为
(
　　
)
A．
2 2
6 4
A C
B．
2 2
6 4
1
2A C
C．
2 2
6 4
A A
D．
2
6
2A
7．（5分）已知函数
2
logy x
的反函数是
1( )y f x
，则函数
1(1 )y f x
 
的图象是
(
　　
)
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A．B．
C．D．
8．（5分）已知
,a b
是非零向量且满足
(3 ) ,(4 )a b a a b b   
 
 
，则
a b
与
的夹角是
(
　　
)
A．
6
B．
3
C．
2
3
D．
5
6
9．（5分）若
9
(1 2 )
x
展开式的第 3项为 288，则
2
1 1 1
lim( )
n
nx x x
  
的值是
(
　　
)
A．2 B．1 C．
1
2
D．
2
5
10．（5分）如图，
A
、
B
、
C
是表面积为
48
的球面上三点，
2AB
，
4BC
，
60ABC  
，
O
为球心，
则直线
OA
与截面
ABC
所成的角是
(
　　
)
A．
3
arcsin 6
B．
3
arccos 6
C．
3
arcsin 3
D．
3
arccos 3
11．（5分）定义在
R
上的函数
( )f x
满足
( ) ( 2)f x f x 
，当
[3x
，
5]
时，
( ) 2 | 4 |f x x 
，则
(
　　
)
A．
(sin ) (cos )
6 6
f f
 
B．
(sin1) (cos1)f f
C．
2 2
(cos ) (sin )
3 3
f f
 
D．
(cos 2) (sin 2)f f
12．（5分）把标有号码 1，2，3，
，10 的10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号
码为小于 7的奇数的概率是
(
　　
)
A．
3
10
B．
7
10
C．
2
5
D．
3
5
二、填空题（共 4小题，每小题 4分，满分 16 分）
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13．（4分）直线
2 0x y 
被曲线
2 2 6 2 15 0x y x y  
所截得的弦长等于　 　．
14．（4分）设函数
1 1 ,( 0)
( )
,( 0)
xx
f x x
a x
 
在
0x
处连续，则实数
的值为 　 　．
15．（4分）某射手射击 1次，击中目标的概率是 0.9．他连续射击 4次，且各次射击是否击中目标相互之
间没有影响．有下列结论：
①他第 3次击中目标的概率是 0.9；
②他恰好击中目标 3次的概率是
3
0.9 0.1
；
③他至少击中目标 1次的概率是
4
1 0.1
．
其中正确结论的序号是　 　（写出所有正确结论的序号）．
16．（4分）如图，将边长为 1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一
个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为　 　时，其容积最大．
三、解答题（共 6小题，满分 74 分）
17．（12 分）设函数
( )f x a b
，其中向量
(2cos ,1)a x
，
(cos , 3 sin 2 )b x x
，
x R
．
（1）若
( ) 1 3f x  
，且
[3
x
 
，
]
3
，求
；
（2）若函数
2sin 2y x
的图象按向量
( , )c m n
，
(| | )
2
m
平移后得到函数
( )y f x
的图象，求实数
m
、
的值．
18．（12 分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6
道题，乙能答对其中的 8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3道题进行测试，至少答对 2道题
才能入选．
( )I
求甲答对试题数
的分布列及数学期望；
( )II
求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
19 ．（ 12 分 ） 在 三 棱 锥
S ABC
中 ，
ABC
是 边 长 为 4的正三角形，平面
SAC
平 面
ABC
，
2 2SA SC 
，
M
为
AB
的中点．
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（Ⅰ）证明：
AC SB
；
（Ⅱ）求二面角
S CM B 
的大小；
（Ⅲ）求点
B
到平面
SCM
的距离．
20．（12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不
能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万
元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第
年（今年为第一年）的利润为
1
500(1 )
2n
万元
(n
为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前
年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
n
A
万元，进行技术改造后的累计纯
利润为
n
B
万元（须扣除技术改造资金），求
n
A
、
n
B
的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造
的累计纯利润？
21．（14 分）已知
2
2
( ) ( )
2
x a
f x x R
x
 
在区间
[ 1
，
1]
上是增函数．
（Ⅰ）求实数
的值组成的集合
A
；
（Ⅱ）设关于
的方程
1
( )f x x
的两个非零实根为
1
x
、
2
x
．试问：是否存在实数
m
，使得不等式
2
1 2
1 | |m tm x x  …
对任意
a A
及
[ 1t 
，
1]
恒成立？若存在，求
m
的取值范围；若不存在，请说明理
由．
22．（12 分）如图，
P
是抛物线
2
1
:2
C y x
上一点，直线
l
过点
P
且与抛物线
C
交于另一点
Q
．
（Ⅰ）若直线
l
与过点
P
的切线垂直，求线段
PQ
中点
M
的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线
l
不过原点且与
轴交于点
S
，与
y
轴交于点
T
，试求
ST ST
SP SQ
的取值范围．
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