2004年福建高考理科数学真题及答案

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2004 年福建高考理科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）复数 的值是 　　
A． B．1 C． D．32
2．（5 分） 等于 　　
A．2 B． C．4 D．
3．（5 分）命题 ：若 、 ，则 是 的充分而不必要条件；命题 ：函数
的定义域是 ， ， ，则 　　
A．“ 或 ”为假 B．“ 且 ”为真 C． 真 假 D． 假 真
4．（5 分）已知 ， 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率是 　　
A． B． C． D．
5．（5 分）已知 、 是不重合的直线， 、 是不重合的平面，有下列命题：
① 若 ， ，则 ；
② 若 ， ，则 ；
③ 若 ， ，则 且 ；
④ 若 ， ，则 ．
其中真命题的个数是 　　
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5 分）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排
2 名，则不同的安排方案种数为 　　
A． B． C． D．
7．（5 分）已知函数 的反函数是 ，则函数 的图象是 　　
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A． B．
C． D．
8．（5 分）已知 是非零向量且满足 ，则 的夹角是 　　
A． B． C． D．
9．（5 分）若 展开式的第 3 项为 288，则 的值是 　　
A．2 B．1 C． D．
10．（5 分）如图， 、 、 是表面积为 的球面上三点， ， ， ， 为球
心，则直线 与截面 所成的角是 　　
A． B． C． D．
11．（5 分）定义在 上的函数 满足 ，当 ， 时， ，则 　　
A． B．
C． D．
12．（5 分）把标有号码 1，2，3， ，10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号
码为小于 7 的奇数的概率是 　　
A． B． C． D．
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二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）直线 被曲线 所截得的弦长等于　 　 ．
14．（4 分）设函数 在 处连续，则实数 的值为 　 　 ．
15．（4 分）某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9．他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之
间没有影响．有下列结论：
① 他第 3 次击中目标的概率是 0.9；
② 他恰好击中目标 3 次的概率是 ；
③ 他至少击中目标 1 次的概率是 ．
其中正确结论的序号是　 　 （写出所有正确结论的序号）．
16．（4 分）如图，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成
一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为　 　 时，其容积最大．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）设函数 ，其中向量 ， ， ．
（1）若 ，且 ， ，求 ；
（2）若函数 的图象按向量 ， 平移后得到函数 的图象，求实数 、
的值．
18．（12 分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6
道题，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，至少答对 2 道题
才能入选．
求甲答对试题数 的分布列及数学期望；
求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
19 ． （ 12 分 ） 在 三 棱 锥中， 是边长为 4 的正三角形，平面 平面 ，
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， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
20．（12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若
不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600
万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 年（今年为第一年）的利润为
万元 为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯
利润为万元（须扣除技术改造资金），求 、 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造
的累计纯利润？
21．（14 分）已知 在区间 ， 上是增函数．
（Ⅰ）求实数 的值组成的集合 ；
（Ⅱ） 设 关于 的 方 程的 两 个 非 零 实 根为 、 ． 试 问： 是 否 存在 实 数 ， 使得 不 等 式
对任意 及 ， 恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明
理由．
22．（12 分）如图， 是抛物线 上一点，直线 过点 且与抛物线 交于另一点 ．
（Ⅰ）若直线 与过点 的切线垂直，求线段中点 的轨迹方程；
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