2004年北京高考理科数学真题及答案

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2004 年北京高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I卷1至2页。第 II 卷3至9页。共 150
分。考试时间 120 分钟。
第I卷（选择题 共40 分）
注意事项：
1. 答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sin cos [sin( ) sin( )]
   
 
1
2
cos sin [sin( ) sin( )]
   
 
1
2
cos cos [cos( ) cos( )]
   
 
1
2
sin sin [cos( ) cos( )]
   
 
1
2
正棱台、圆台的侧面积公式
S c c l
台侧  
1
2( ' )
其中 c’，c分别表示上、下底面周长，
l
表示斜高或母线长
球体的表面积公式
S R
球42
其中 R表示球的半径
一. 选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
（1）设全集是实数集 R，
M x x   { | }2 2
，
N x x { | }1
，则
等于
A.
{ | }x x  2
B.
{ | }x x  2 1
C.
{ | }x x 1
D.
{ | }x x  2 1
（2）满足条件
|43||| iiz
的复数 z在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
（3）设 m、n是两条不同的直线，
 
, ,
是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若
m
，
n/ /
，则
m n
②若
 
/ /
，
 
/ /
，
m
，则
m
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③若
m/ /
，
n/ /
，则
m n/ /
④若
 
，
 
，则
 
/ /
其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
（4）如图，在正方体
ABCD A B C D1 1 1 1
中，P是侧面
BB C C
1 1
内一动点，若 P到直线 BC 与直线
C D
1 1
的距离相等，则动点 P的轨迹所在的曲线是
D1 C1
A1 B1
P
D C
A B
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（5）函数
f x x ax( )  
22 3
在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
A.
a ( , ]1
B.
a [ , )2
C.
a[ , ]1 2
D.
a  ( , ] [ , )1 2
（6）已知 a、b、c满足
c b a 
，且
ac 0
，那么下列选项中一定成立的是
A.
ab ac
B.
c b a( ) 0
C.
cb ab
2 2
D.
ac a c( ) 0
（7）从长度分别为 1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有 n种。在这些取法中，以
取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m，则
m
n
等于
A.
1
10
B.
1
5
C.
3
10
D.
2
5
（8） 函 数
f x x x P
x x M
( ) ,
,
 
， 其 中 P、M为 实 数 集 R的两个非空子集，又规定
f P y y f x x P( ) { | ( ), } 
，
f M y y f x x M( ) { | ( ), } 
，给出下列四个判断：
①若
P M  
，则
f P f M( ) ( )  
②若
P M  
，则
f P f M( ) ( )  
③若
P M R 
，则
f P f M R( ) ( ) 
④若
P M R 
，则
f P f M R( ) ( ) 
其中正确判断有
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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第II 卷（非选择题 共110 分）
二. 填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。把答案填在题中横线上。
（9）函数
f x x x x( ) cos sin cos 2 2 3
的最小正周期是___________
（10）方程
lg( ) lg lg4 2 2 3
x x
 
的解是___________________
（11）某地球仪上北纬
30
纬线的长度为
12
cm
，该地球仪的半径是__________cm，表面积是
______________cm2
（12）曲线 C：
x
y
 
cos
sin
1
（
为参数）的普通方程是__________，如果曲线 C与直线
x y a 0
有公共点，那么实数 a的取值范围是_______________--
（13）在函数
f x ax bx c( )  
2
中，若 a，b，c成等比数列且
f( )0 4 
，则
f x( )
有最______________
值（填“大”或“小”），且该值为______________
（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数
列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列
{ }an
是等和数列，且
a12
，公和为 5，那么
a18
的值为______________，这个数列的前 n项
和
Sn
的计算公式为________________
三. 解答题：本大题共 6小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分 13 分）
在
ABC
中，
sin cosA A 2
2
，
AC 2
，
AB 3
，求
tgA
的值和
ABC
的面积
（16）（本小题满分 14 分）
如图，在正三棱柱
ABC A B C1 1 1
中，AB＝3，
AA14
，M为
AA1
的中点，P是BC 上一点，且由 P沿
棱柱侧面经过棱
CC1
到M的最短路线长为
29
，设这条最短路线与
CC1
的交点为 N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC 和NC 的长
（III）平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
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