2003年云南高考文科数学真题及答案

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2003 年云南高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）直线
y
＝2
x
关于
x
轴对称的直线方程为（　　）
A． B． C．
y
＝﹣2
x
D．
y
＝2
x
2．（5 分）已知
x
∈（ ，0），cos
x
，则 tan2
x
等于（　　）
A． B． C． D．
3．（5 分）抛物线
y
＝
ax
2的准线方程是
y
＝2，则
a
的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
4．（5 分）等差数列{
an
}中，已知
a
1，
a
2+
a
5＝4，
an
＝33，则
n
为（　　）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．（5 分）双曲线虚轴的一个端点为
M
，两个焦点为
F
1、
F
2，∠
F
1
MF
2＝120°，则双曲线的
离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5 分）设函数 若
f
（
x
0）＞1，则
x
0的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（5 分）已知
f
（
x
5）＝
lgx
，则
f
（2）＝（　　）
A．
lg
2 B．
lg
32 C． D．
8．（5 分）函数
y
＝sin（
x
+φ）（0≤φ≤π）是
R
上的偶函数，则 φ＝（　　）
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A．0 B． C． D．π
9．（5 分）已知点（
a
，2）（
a
＞0）到直线
l
：
x
﹣
y
+3＝0 的距离为 1，则
a
＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5 分）已知圆锥的底面半径为
R
，高为 3
R
，它的内接圆柱的底面半径为 ，该圆柱
的全面积为（　　）
A．2π
R
2B． C． D．
11．（5 分）已知长方形的四个顶点
A
（0，0），
B
（2，0），
C
（2，1）和
D
（0，1），一
质点从
AB
的中点
P
0沿与
AB
夹角为 θ 的方向射到
BC
上的点
P
1后，依次反射到
CD
、
DA
和
AB
上的点
P
2、
P
3和
P
4（入射角等于反射角）若
P
4与
P
0重合，则
tg
θ＝（　　）
A． B． C． D．1
12．（5 分）棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）
A．3π B．4π C．3 D．6π
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）不等式 的解集是　 　．
14．（4 分）在 的展开式中，
x
3的系数是　 　（用数字作答）
15．（4 分）在平面几何里，有勾股定理“设△
ABC
的两边
AB
，
AC
互相垂直，则
AB
2+
AC
2＝
BC
2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间
的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥
A
﹣
BCD
的三个侧面
ABC
、
ACD
、
ADB
两两
互相垂直，则　 　．”
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16．（4 分）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用
同一颜色．现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　 　种．（以数字作
答）
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）已知正四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1．
AB
＝1，
AA
1＝2，点
E
为
CC
1中点，点
F
为
BD
1
中点．
（1）证明
EF
为
BD
1与
CC
1的公垂线；
（2）求点
D
1到面
BDE
的距离．
18．（12 分）已知复数
z
的辐角为 60°，且|
z
﹣1|是|
z
|和|
z
﹣2|的等比中项．求|
z
|．
19．（12 分）已知数列{
an
}满足
a
1＝1，
an
＝3
n
﹣1+
an
﹣1（
n
≥2）．
（Ⅰ）求
a
2，
a
3；
（Ⅱ）证明 ．
20．（12 分）已知函数
f
（
x
）＝2sin
x
（sin
x
+cos
x
）．
（1）求函数
f
（
x
）的最小正周期和最大值；
第3页 | 共18 页
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数
y
＝
f
（
x
）在区间 上的图象．
21．（12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市
O
（如
图）的东偏南 方向 300
km
的海面
P
处，并以 20
km
/
h
的速度向西偏北 45°方
向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60
km
，并以 10
km
/
h
的速度不断增大，
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22．（14 分）已知常数
a
＞0，在矩形
ABCD
中，
AB
＝4，
BC
＝4
a
，
O
为
AB
的中点，点
E
、
F
、
G
分别在
BC
、
CD
、
DA
上移动，且 ，
P
为
GE
与
OF
的交点（如图），问
是否存在两个定点，使
P
到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此
定值；若不存在，请说明理由．
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