第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案

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(非数学类, 2016 年10 月)

绝密 ⋆启用前 (14 金融工程-白兔兔)

考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分

题号一二三四五六总分

满分 30 14 14 14 14 14 100

得分

注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效.

2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.

3.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.

省市学校准考证号姓名考场号座位号

........................ ⃝........................⃝密封线答题时不要超过此线 ⃝........................ ⃝........................

一(填空题,本题满分 30 分,共5小题,每小题 6分)

1. 若f(x)在点 x=a可导,且f(a)̸= 0,则lim

n→+∞fa+1

n

f(a)n

解

lim

n→+∞fa+1

n

f(a)n

=lim

n→+∞f(a) + f′(a)1

n+o1

n

f(a)n

f′(a)

f(a)

2. 若f(1) = 0,f′(1) 存在,则极限 I=lim

x→0

f(sin2x+cos x)tan 3x

(ex2−1) sin x=

解

I=lim

x→0

f(sin2x+cos x)tan 3x

(ex2−1) sin x

=lim

x→0

f(sin2x+cos x)×3x

x2×x= 3 lim

x→0

f(sin2x+cos x)

= 3 lim

x→0f(sin2x+cos x)−f(1)

sin2x+cos x−1·sin2x+cos x−1

x2

= 3f′(1) lim

x→0

x2−1

2x2+o(x2)

2f′(1)

3. 设f(x)有连续导数,且f(1) = 2 .记z=f(exy2),若∂z

∂x =z,则当 x > 0,

f(x) =

第1页,共6页

解由题设得 ∂z

∂x =f′(exy2)exy=f(exy2),令u=exy2,

得到当 u > 0有f′(u)u=f(u),即f′(u)

f(u)=1

u,从而 ln f(u)′= (ln u)′

所以有 ln f(u) = ln u+C1,f(u) = Cu .再而由初始条件得 f(u) = 2u

故当 x > 0有f(x) = 2x

4. 设f(x) = exsin 2x,则f(4)(0) =

解由Taylor 展开式得

f(x) = 1 + x+1

2!x2+1

3!x3+o(x3)2x−1

3!(2x)3+o(x4)

所以 f(x)展开式的 4次项 −1

3! (2x)3×x+1

3!x3×(2x) = −x4,从而 f(4)(x)

4! = 1 ,

故f(4)(0) = 24

5. 曲面 z=x2

2+y2平行于平面 2x+ 2y−z= 0 的切平面方程为

解该曲面在点 (x0, y0, z0)的切平面的法向量为 (x0,2y0,−1) 。又该切平面于

已知平面平行，从而两平面法向量平行，故 x0

2=2y0

2=−1

−1

从而 x0= 2 ,y0= 1 ,得z0=x2

2+y2

0= 3 ,从而所求切平面为

2(x−2) + 2(y−1) −(z−3) = 0

即

2x+ 2y−z= 3

二(本题满分 14 分)

设f(x)在[0,1] 可导,f(0) = 0,且当 x∈(0,1) ,0< f′(x)<1.

试证当 a∈(0,1) ,a

f(x)dx2

>a

f3(x)dx.

证明设F(x) = x

f(t)dt2

−x

f3(t)dt,则F(0) = 0 且要证明 F′(x)>0

设g(x) = 2 x

f(t)dt−f2(x),则F′(x) = f(x)g(x)

由于 f(0) = 0 ,f′(x)>0,故f(x)>0,

从而只要证明 g(x)>0,x > 0

而g(0) = 0 ,我们只要证明 g′(x)>0,0< x < a

而g′(x) = 2f(x)1−f′(x)>0,得证

第2页,共6页

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第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案(非数学类,2016年10月)绝密⋆启用前(14金融工程-白兔兔)考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号一二三四五六总分满分301414141414100得分注意：1:所有答题都须写在试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效:2:密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记:3:如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号:省市学校准考证号姓名考场号座位号........................⃝........................⃝密封线答题时不要超过此线⃝........................⃝..........

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