第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷-参考答案及评分标准

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1
第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
参考答案及评分标准
（非数学类，2011）
一、（本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题
1.
22
0
(1 ) (1 ln(1 ))
lim .
x
x
x
ex
x

解：因为
22
(1 ) (1 ln(1 ))
x
x
ex
x
 =
2ln(1 ) 2(1 ln(1 )) ,
x
x
ee x
x

22
0
ln(1 )
lim ,
x
ex
e
x
………………………………………………3 分
22
ln(1 ) ln(1 ) 2
22
00
1
lim lim
xx
xx
xx
ee e
e
xx




2
0
2ln(1 ) 2
lim
x
x
x
ex
= 222
2
00
11
ln(1 ) 1
2lim 2lim ,
2
xx
xx x
eee
xx


 ………………5 分
所以
22
0
(1 ) (1 ln(1 ))
lim x
x
x
ex
x
 =0. ………………………………6 分
2. 设 2
cos cos cos ,
22 2
nn
a

 求lim .
n
na

解：若0,
则lim 1.
n
na
 ……………………1 分
若0
，则当 n充分大，使得 2||
nk时，
2
cos cos cos
22 2
nn
a

  = 2
1
cos cos cos sin
22 2 2
sin 2
nn
n


= 211
11
cos cos cos sin
22 222
sin 2
nn
n


  . ………………………4 分
= 2222
11
cos cos cos sin
22 222
sin 2
nn
n


  = sin
2sin
2
nn
这时, lim n
na
 lim
n
sin sin
2sin
2
nn
. ………………………6 分
摘要：

1第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）一、（本题共4小题，每题6分，共24分）计算题1.220(1)(1ln(1))lim.xxxexx解：因为22(1)(1ln(1))xxexx=2ln(1)2(1ln(1)),xxeexx220ln(1)lim,xexex………………………………………………3分22ln(1)ln(1)222001limlimxxxxxxeeeexx202ln(1)2limxxxex=22220011ln(1)12lim2lim,2xxxxxeeexx………………5...

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