第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分细则

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一、(共4小题,每小题 6分,共24 分) 解答下列各题 .

1. 求极限



lim 1 sin 1 4 n



 

解



sin 1 4 sin 1 4 2 sin 2 1 4

n n n nn



   

     

(2 分)

原式

lim 1 sin 2 1 4

nnn

















exp lim ln 1 sin 2 1 4

nnnn

























(2 分)

exp lim sin 2 1 4

nnnn















exp lim 2 1 4

















(2 分)

2 证明广义积分

sin

xdx





不是绝对收敛的.

证. 记

()

|sin |

a dx







, 只要证明





n

发散. (2 分)

因为

()

|sin | sin

( ) ( ) ( )

1 1 2

1 1 1

a x dx xdx

n n n





  



  

  



. (3 分)

而

( 1)









发散, 故





n

发散. (1 分)

3. 设函数

()y y x

由

3 2 3

3 2 2x x y y  

所确定. 求

()yx

的极值.

解方程两边对 x求导，得

2 2 2

3 6 3 ' 6 ' 0x xy x y y y   

(1分)

故

( 2 )

x x y

yyx





，令

'0y

，得

( 2 ) 0x x y

0x

或

2xy

将

0x

和

2xy

代入所给方程，得

  





  



和

. (2 分)

又

2 2 2

2 2 2 01

(2 )(2 2 ' 2 ) ( 2 )(4 ' 2 ) 10

(2 ) x

y x x xy y x xy yy x

yyx 





     

    



，

y



 

故

(0) 1y

为极大值，

( 2) 1y

为极小值. (3 分)

4．过曲线

3( 0)y x x

上的点

作切线,使该切线与曲线及

轴所围成的平面图形的面积为

, 求点

的坐标.

解

A t t A设切点的坐标为( , ),曲线过点的切线方程为

( )

y t x t

  

(2分)

0, 2y x x t  令由上式可得切线与轴交点的横坐标

SAx t otA   平面图形的面积的面积曲边梯形的面积

3 3 3

1 3 3

3 d 1

2 4 4

S t t x x t t t      



，

(1,1).A的坐标为

(4分)

二、 (12 分) 计算定积分

sin arctan d

1 cos

x x e











解

sin arctan sin arctan

1 cos 1 cos

x x e x x e

I x x













sin arctan sin arctan

1 cos 1 cos

x x e x x e













(4 分)

sin

(arctan arctan ) d

1 cos

e e x











sin d

2 1 cos

xxx







(2 分)

sin

2 1 cos

xdx





 





(4 分)

arctan(cos )







  





(2 分)

三、(12 分)设

()fx

在

0x

处存在二阶导数

(0)f

，且

()

lim 0.



证明：级数

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摘要：

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分细则一、(共4小题,每小题6分,共24分)解答下列各题.1.求极限.解(2分)原式(2分)(2分)2证明广义积分不是绝对收敛的.证.记,只要证明发散.(2分)因为.(3分)而发散,故发散.(1分)3.设函数由所确定.求的极值.解方程两边对x求导，得(1分)故，令，得或.将和代入所给方程，得2lim1sin14nnn222sin14sin142sin214nnnnn2lim1sin214nnnn2explimln1sin214nnnn2e...

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