第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 评分细则

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第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 评分细则
一、(4小题,每小题 6,24 ) 解答下列各题 .
1. 求极限
2
lim 1 sin 1 4 n
nn
 
.
22
2
sin 1 4 sin 1 4 2 sin 2 1 4
n n n nn

  
(2 )
原式
2
lim 1 sin 2 1 4
n
nnn







2
exp lim ln 1 sin 2 1 4
nnnn











(2 )
2
exp lim sin 2 1 4
nnnn






1
4
2
exp lim 2 1 4
n
ne
nn







(2 )
2 证明广义积分
sin
0
xdx
x

不是绝对收敛的.
.
()
|sin |
1n
n
n
x
a dx
x
, 只要证明
发散. (2 )
因为
()
|sin | sin
( ) ( ) ( )
1
0
1 1 2
1 1 1
n
n
n
a x dx xdx
n n n
 
 
 

. (3 )
0
2
( 1)
nn
发散,
0
n
n
a
发散. (1 )
3. 设函数
()y y x
3 2 3
3 2 2x x y y  
所确定.
()yx
的极值.
方程两边对 x求导,得
2 2 2
3 6 3 ' 6 ' 0x xy x y y y 
(1)
22
( 2 )
'2
x x y
yyx
,令
'0y
,得
( 2 ) 0x x y
0x
2xy
.
0x
2xy
代入所给方程,
02
11
xx
yy
 


 

. (2 )
2 2 2
2 2 2 01
'0
(2 )(2 2 ' 2 ) ( 2 )(4 ' 2 ) 10
(2 ) x
y
y
y x x xy y x xy yy x
yyx

 
  
2
1
'0
10
x
y
y
y
 
.
(0) 1y
为极大值,
( 2) 1y
为极小值. (3 )
4过曲线
3( 0)y x x
上的点
A
作切线,使该切线与曲线及
x
轴所围成的平面图形的面积为
3
4
, 求点
A
的坐标.
3
A t t A点 的( , ),线过 点线
3
32
1
( )
3
y t x t
t
 
(2)
0
0, 2y x x t   线与 轴
0
SAx t otA   积 曲
3 3 3
0
1 3 3
3 d 1
2 4 4
t
S t t x x t t t  
(1,1).A
(4)
二、 (12 ) 计算定积分
2
sin arctan d
1 cos
x
x x e
Ix
x
.
0
22
0
sin arctan sin arctan
dd
1 cos 1 cos
xx
x x e x x e
I x x
xx




22
00
sin arctan sin arctan
dd
1 cos 1 cos
xx
x x e x x e
xx
xx





(4 )
2
0
sin
(arctan arctan ) d
1 cos
xx
xx
e e x
x

2
0
sin d
2 1 cos
xxx
x
(2 )
2
2
0
sin
2 1 cos
xdx
x



(4 )
23
0
arctan(cos )
28
x


 


(2 )
三、(12 )
()fx
0x
处存在二阶导数
(0)f
,且
0
()
lim 0.
x
fx
x
证明:级数
摘要:

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分细则一、(共4小题,每小题6分,共24分)解答下列各题.1.求极限.解(2分)原式(2分)(2分)2证明广义积分不是绝对收敛的.证.记,只要证明发散.(2分)因为.(3分)而发散,故发散.(1分)3.设函数由所确定.求的极值.解方程两边对x求导,得(1分)故,令,得或.将和代入所给方程,得2lim1sin14nnn222sin14sin142sin214nnnnn2lim1sin214nnnn2explimln1sin214nnnn2e...

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