首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

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首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

（非数学类，2009）

考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分.

题号一二三四五六七八总分

满分 20 5 15 15 10 10 15 10 100

得分

注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

一、填空题（每小题 5分，共 20 分）.

（1）计算 dxdy

∫∫ −−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛++

1ln)(

=_____________，其中

区域 D由直线 1=+ yx 与两坐标轴所围三角形区域.

（2）设 ()

x是连续函数，满足 2

() 3 () 2fx x fxdx=− −

∫，则

()

x=___________________.

（3）曲面

222

zy=+− 平行平面 22 0xyz

−= 的切平面方程是

________________________.

（4）设函数 ()yyx=由方程 () ln 29

fy y

xe e=确定，其中

具有二阶导数，

且 1f′≠，则

dx =____________________.

答案： 16

15 ，210

x−， 22 50xyz

−−=，

[1 ( )] ( )

[1 ( )]

yfy

xfy

′

′′

−−

−′

−.

得分

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第 2 页（共 6 页）

二、（5分）求极限

lim( )e

xx nx

ee e

→

+++ ，其中 n是给定

的正整数.

解：原式

limexp{ ln( )}

xx nx

eee e

→

+++

=

(ln( ) ln )

exp{lim }

xx nx

eee e n

→

+++ −

= ………………….….…（2分）

其中大括号内的极限是 0

0 型未定式，由 L Hospital

′

法则，有

(ln( ) ln )

lim xx nx

eee e n

→

+++ −

(2 )

lim

xnx

xx nx

ee e ne

ee e

→

+++

=+++



(1 2 ) 1

()

enn

++ + +



于是原式=

()

. ……………………………………..…………..…(5 分)

三、（15 分）设函数 ()

x连续,1

() ( )gx f xtdt=∫，且

()

lim

fx A

→

为常数，求 ()gx

′

并讨论 ()gx

′

在0x=处的连续性.

解：由题设，知 (0) 0f=，(0) 0g

. …………….…………...…(2 分)

令uxt=，得 0()

()

udu

gx x

=∫ (0)x

≠

，……………………………………..……（5分）

从而 0

() ()

()

fx fudu

gx x

−

′=∫ (0)x

≠

…………………………………….……(8 分)

由导数定义有

() ()

(0) lim lim 22

fudu

gxx

→→

′===

∫ ……………………………………….……(11 分)

由于 00

00 00

() () ()

()

lim()lim lim lim (0)

xx xx

xf x fudu fudu

fx A A

gx A g

xxx

→→ →→

−

′′

==−=−==

∫∫ ，

从而知 ()gx

′ 在 0x

处连续. …………………………………………….……….(15 分)

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第1页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七八总分满分205151510101510100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、填空题（每小题5分，共20分）.（1）计算dxdyyxxyyxD∫∫−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++11ln)(=_____________，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围三角形区域.（2）设()fx是连续函数，满足220()3()2fxx...

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