首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答
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首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答
（非数学类，2009）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
满 分 20 5 15 15 10 10 15 10 100
得 分
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.
2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
一、 填空题（每小题 5分，共 20 分）.
（1）计算 dxdy
yx
x
y
yx
D
∫∫ −−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++
1
1ln)(
=_____________，其中
区域 D由直线 1=+ yx 与两坐标轴所围三角形区域.
（2）设 ()
f
x是连续函数，满足 2
2
0
() 3 () 2fx x fxdx=− −
∫，则
()
f
x=___________________.
（3） 曲面
222
2
x
zy=+− 平行平面 22 0xyz
+
−= 的切平面方程是
________________________.
（4）设函数 ()yyx=由方程 () ln 29
fy y
xe e=确定，其中
f
具有二阶导数，
且 1f′≠，则
2
2
dy
dx =____________________.
答案： 16
15 ，210
33
x−， 22 50xyz
+
−−=，
2
23
[1 ( )] ( )
[1 ( )]
f
yfy
xfy
′
′′
−−
−′
−.
得 分
评阅人
第 2 页（ 共 6 页）
二、（5分）求极限
2
0
lim( )e
xx nx
x
x
ee e
n
→
+++ ，其中 n是给定
的正整数.
解：原式
2
0
limexp{ ln( )}
xx nx
x
eee e
xn
→
+++
=
2
0
(ln( ) ln )
exp{lim }
xx nx
x
eee e n
x
→
+++ −
= ………………….….…（2分）
其中大括号内的极限是 0
0 型未定式，由 L Hospital
′
法则，有
2
0
(ln( ) ln )
lim xx nx
x
eee e n
x
→
+++ −
2
0
(2 )
lim
x
xnx
xx nx
x
ee e ne
ee e
→
+++
=+++
(1 2 ) 1
()
2
enn
e
n
++ + +
==
于是 原式=
1
()
2
ne
e
+
. ……………………………………..…………..…(5 分)
三、（15 分）设函数 ()
f
x连续,1
0
() ( )gx f xtdt=∫，且
0
()
lim
x
fx A
x
→
=
,
A
为常数，求 ()gx
′
并讨论 ()gx
′
在0x=处的连续性.
解：由题设，知 (0) 0f=，(0) 0g
=
. …………….…………...…(2 分)
令uxt=，得 0()
()
x
f
udu
gx x
=∫ (0)x
≠
，……………………………………..……（5分）
从而 0
2
() ()
()
x
x
fx fudu
gx x
−
′=∫ (0)x
≠
…………………………………….……(8 分)
由导数定义有
02
00
() ()
(0) lim lim 22
x
xx
fudu
f
xA
gxx
→→
′===
∫ ……………………………………….……(11 分)
由于 00
22
00 00
() () ()
()
lim()lim lim lim (0)
22
xx
xx xx
xf x fudu fudu
fx A A
gx A g
xxx
→→ →→
−
′′
==−=−==
∫∫ ，
从而知 ()gx
′ 在 0x
=
处连续. …………………………………………….……….(15 分)
得 分
评阅人
得 分
评阅人
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第1页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七八总分满分205151510101510100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、填空题（每小题5分，共20分）.（1）计算dxdyyxxyyxD∫∫−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++11ln)(=_____________，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围三角形区域.（2）设()fx是连续函数，满足220()3()2fxx...
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