第05章 微分变换
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第五章 微分变换
ChapterⅤ Differential Relationships
5.1 引言
5.2 微分矩阵
5.3 微分平移和旋转变换
5.4 微分旋转
5.5 坐标系之间的微分变换
5.6 机械手的微分变换方程 —— 雅可比方程
5.7 雅可比逆矩阵
5.8 本章小结
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5.1 引言（Introduction ）
微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力
控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄
像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微
小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换
到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制
坐标系中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化
为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题
时，也会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，
包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵
和逆雅可比矩阵及其应用。
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5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes ）
给出一个 4×4 的矩阵 A
（ 5.1 ）
矩阵 A的微分就是对矩阵 A中的每一个元素对自变量 x的微分，结果如
下
（5.2 ）
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
dx
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
dA
44
43
4241
34333231
24
23
2221
14
13
1211
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5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation
)
微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以
是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵 T，它对基坐标的微
分变换可表示为
（ 5.3 ）
式中是在基坐标的 x，y，z轴向上分别平移 dx ，dy ，dz ；
和绕基坐标的向量 k旋转 dθ 角。由此可得到
（ 5.4 ）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系 T，那么微分变换的
结果可表示为
（ 5.5 ）
此时，式中 是在 T坐标的 x，y，z轴
向上分别平移 dx ，dy ，dz ； 是绕 T坐标的向量 k旋
转dθ 角。由此可得到
（ 5.6 ）
TdkRotdzdydxTransdTT ),(),,(
TIdkRotdzdydxTransdT )),(),,((
),(),,(
dkRotdzdydxTransTdTT
)),(),,(( IdkRotdzdydxTransTdT
),,( dzdydxTrans
),(
dkRot
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我们用符号 来表示式（ 5.4 ）和式（ 5.6 ）中的
并将它称为微分变换算子
（5.6 ）
这样式（ 5.4 ）和式（ 5.6 ）就可写成如下形式
（ 5.7 ）
和
（ 5.8 ）
式（ 5.7 ）中的微分变换算子 是针对基坐标的，而式（ 5.8 ）中的微分
变换算子 则是针对 T坐标的。
在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达
式，平移变换矩阵是
1 0 0 a
0 1 0 b
Trans( a, b, c ) = 0 0 1 c （5.9 ）
0 0 0 1
)),(),,(( IdkRotdzdydxTrans
IdkRotdzdydxTrans ),(),,(
TdT
T
TdT
T
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2025年2月21日星期五1第五章微分变换ChapterⅤDifferentialRelationships5.1引言5.2微分矩阵5.3微分平移和旋转变换5.4微分旋转5.5坐标系之间的微分变换5.6机械手的微分变换方程——雅可比方程5.7雅可比逆矩阵5.8本章小结2025年2月21日星期五25.1引言（Introduction）微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在...
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