计算理论第六章计算复杂性3

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计算理论

第6章计算复杂性

P与NP

nP：多项式时间判定

nNP：多项式时间验证

nP？NP悬⽽未决！

nEXP =⋃𝒌TIME(𝟐𝒏𝒌)

nNP⊆ EXP

P=NP

或

NP完全/NPC

n20世纪70年代由库克、列⽂提出

nNP完全：NP中某些问题的复杂性与整个

NP类复杂性关联。这些问题称为NP完全。

nP?NP P?NPC

NPC

可满⾜性问题SAT

n合取范式可满⾜性问题：

n给定⼀个合取范式(cnf),确定这个公式是否可满⾜

nSAT/cnf-SAT = { <

> |

是可满⾜cnf }

n3cnf可满⾜性问题3SAT

n给定⼀个3cnf, 确定这个公式是否可满⾜

n3SAT = { <

> |

是可满⾜3cnf }

库克定理

n定理: SAT ≤𝒎

𝒑"3SAT

n证明思路: 把cnf转化成3cnf

(1)若cnf中⼦句⽂字数小于3，则复制其中⼀

个⽂字，使得⽂字总数达到3；

(2)若cnf中⼦句⽂字⼤于3，则将⼦句分裂为

⼏个⼦句，增加⼀些变元保持原公式的可

满⾜性。

n定理：3SAT ≤𝒎

𝒑"CLIQUE

n证明思路：构造多项式时间函数f，输⼊3cnf，输

出<G,k>。即构造f使得：

n3cnf对应G；

n3cnf的可满⾜赋值对应完全⼦图k；

n公式变量和⼦句模拟G的结构。

设

有k个⼦句，

= (a1

c1)

(a2

c2)

…

(ak

ck).

nG的构造

n每个⽂字对应G⼀个节点

n每个⼦句对应⼀组三个节点

n连接任意两个节点，其中

n同⼀个⼦句内的⼀组三个节点间不连边

n⽂字和⽂字的否定节点间不连边

可满⾜对应G每组节点任选择⼀个真值⽂字对应

的节点构成的完全⼦图

=(x1

x2)

(

Ú¬

x2)

(

x2)

图G可构造如下：

¬x1

¬x1¬x2¬x2

=(x1

x2)

(

Ú¬

x2)

(

x2)

可满⾜赋值01

¬x1

¬x1¬x2¬x2

n证明：设

有k个⼦句，

= (a1

c1)

(a2

c2)

…

(ak

ck).

归约函数f如下构造：

G=<V,E>,

V={a1,b1,c1,…,ak,bk,ck},

E={ (xi,yj) | (i

(xi

yj), xi,yi

{ai,bi,ci}}

往证(1)

可满⾜当且仅当G有k-完全⼦图

(2) f是多项式时间

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摘要：

计算理论第6章计算复杂性P与NPnP：多项式时间判定nNP：多项式时间验证nP？NP悬⽽未决！nEXP=⋃!TIME(""!)nNP⊆EXPPNPP=NP或NP完全/NPCn20世纪70年代由库克、列⽂提出nNP完全：NP中某些问题的复杂性与整个NP类复杂性关联。这些问题称为NP完全。nP?NPP?NPCPNPNPC可满⾜性问题SATn合取范式可满⾜性问题：n给定⼀个合取范式(cnf),确定这个公式是否可满⾜nSAT/cnf-SAT={|f是可满⾜cnf}n3cnf可满⾜性问题3SATn给定⼀个3cnf,确定这个公式是否可满⾜n3SAT={|f是可满⾜3cnf}库克定理n定理:SAT≤!"3S...

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