矩阵理论赵迪知识总结-补充微分方程求解

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2025-01-13 0 0 113.15KB 2 页 5.9玖币
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备注公式：设
−
=01
10
A
则有
cos sin
sin cos
tA tt
ett

=
−

且有
−
=
−−−
−−
== −−
tt
tt
tt
tt
ee tAtA cossin
sincos
)cos()sin(
)sin()cos(
)( tt
1换成－把
0 1 0 t
-1 0 -t 0
0t
-t 0
0
0
0
0
cos sin
sin cos
cos sin (1)
sin cos
cos sin
(1) (2)
sin cos
)
t
tA tA
at
at
at
at
tt
e e e e
tt
tt
ett
at at
t at e at at
t t e
 
 
 





−

−




= = =

−


=
−


=
−

−
，且
可得公式：
公式 中把 换成 可得公式：
再把 换成(可得公式： cos sin (3)
sin cos
at at
at at
−

=

………………………………………………………………………………………………………………………………….
设
0
0
a
Aa

=
−

；可知
00
00
cos sin (2)
sin cos
a at
ta at
tA at at
e e e at at
 
 
−−

= = = 
−

定理. 齐次微分方程
( )
1
, ( ), , ( ) ,
T
n n n
dX AX X x t x t A A
dt
= = =其中 为常数方阵
通解为：
2
2
0
0
0 0 ( )
( ) ,
0
,
-0
cos sin
C=
sin cos
1
dx
dt
dy
dt
at
at
tA tA
x a x a x x t t
x x t ay ay x a x y ax
ay ax
dX AX A X
ax ay
dt
at at
X e e e at at


−

 + = =
   
= = = = − = −
=
 
= = =
 
=−
 

==
−
(用矩阵法)解微分方程： ，其中常数 ， 是 的函数.
解：令 可知
可写方程组 即 其中 ，
通解为 ，其中
例
1 1 2
2 2 1
12
cos sin
cos sin
Ccos sin
sin cos
cos sin
tA c c at c at
at at
Xe c c at c at
at at
x c at c at
+
 

= = =
 
 −
−

 
=+原方程通解为
1.
(1) ( ) 2 ( ) 0; () (2 0)4 ( ) .x t x t x t x t
 += +=
补充题 (用矩阵法)求解微分方程：
………………………………………………………………………………………………………..
摘要：

备注公式：设则有且有………………………………………………………………………………………………………………………………….设；可知定理.齐次微分方程通解为：………………………………………………………………………………………………………..−=0110AcossinsincostAttett=−−=−−−−−==−−tttttttteetAtAcossinsincos)cos()sin()sin()cos()(tt1换成－把010t-10-t00t-t00000cossinsincoscossin(1)sincoscossin(1)(2)...

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