矩阵理论赵迪知识总结-补充正交子空间

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补充：两个正交子空间

(核空间与值域正交定理)

定理：

C ( ) R( ), ( ) R( )

m n H H

A N A A N A A



 ⊥ ⊥设，则有且

推论：

C ( ) R( ) C ; ( ) R( ) C

m n H n H m

A N A A N A A



  =  =，则有

Pf：由核空间与值域定义可知

( ), R( ), ( ) 0

( ) ( ) ( ) (0) 0, =0

( ) R( )

( ) R( )----

H H H

H H H H H

y N A A x A A x

A x A x y x Ay x Ay

y A x N A A

N A A

  =

= = = =

⊥⊥

⊥

任取任取要证明内积 y,

由内积定义， y, 其中

即有，可知成立.

同样可证：建议大家给出证明

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摘要：

补充：两个正交子空间(核空间与值域正交定理)定理：推论：Pf：由核空间与值域定义可知C()R(),()R()mnHHANAANAA⊥⊥设，则有且C()R()C;()R()CmnHnHmANAANAA==，则有(),R(),()0()()()(0)0,=0()R()()R()----HHHHHHHHHHHyNAAxAAxAxAxyxAyxAyyAxNAANAA=====⊥⊥⊥任取任取要证明内积y,由内积定义，y,其中即有，可知成立.同样可证：建议大家给出证明

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