矩阵理论赵迪知识总结-补特商公式!平方根

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补充结论与公式----平方根公式

特商公式:

AxxH



其中

Ax x



，



是A的任一特征根，且

0x

是特征向量

正定阵定义：设 A是Hermite（

AAH=

）

Cx

是复向量，若

( ) 0

f x x Ax=

对一切非

0向量

0x

成立，则称 A为正定（Hermite）阵. “A>0”代表正定阵 A

半正定定义：设 A是Hermite（

AAH=

）

Cx

是复向量，若

( ) 0

f x x Ax=

对一切非

0向量

成立，则称 A为半正定（Hermite）. “

0A

”代表半正定阵 A

备注：半正阵定义中包含正定阵，正定阵是特殊的半正定阵

正定等价条件：设 A为Hermite（

AAH=

）则下列条件等价

（1）A为正定(A>0) ⇔(2)

有分解

A P P A PP==或

，

可逆⇔

(3)特根

 

( ) 0 0 0

   

=    ，，

为正—用特商公式证(1)⇒ (3)

证：(2)用Hermit 分解：若

是Hermite(

AA =

)，则存在优阵

，

使









A Q Q

为对角阵

且A正定(A>0)，则特根

,,,





都为正数

令

C C =C C =D





 

 



，则，且

故

= CC = C( C)

H H H H

D=A Q Q Q Q Q Q

，令

P QC=

,必可逆

则

, ( )

H H H H

A PP A P P==或

，即 (1) ⇒ (2)

另外，若有

A P P=

，

可逆，

因为

0x

时

0 ( ) ( ) 0

Px x Ax Px Px Px  = 二次形＝

故 A正定(A>0) 即 (1) ⇔ (2) 证毕

…………………………………………………………………………………………

也有半正定等价条件：设 A为Hermite（

AAH=

）则下列条件等价

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摘要：

1补充结论与公式----平方根公式特商公式:,其中，是A的任一特征根，且是特征向量正定阵定义：设A是Hermite（）是复向量，若对一切非0向量成立，则称A为正定（Hermite）阵.“A>0”代表正定阵A半正定定义：设A是Hermite（）是复向量，若对一切非0向量成立，则称A为半正定（Hermite）.“”代表半正定阵A备注：半正阵定义中包含正定阵，正定阵是特殊的半正定阵正定等价条件：设A为Hermite（）则下列条件等价（1）A为正定(A>0)⇔(2)有分解，可逆⇔(3)特根为正—用特商公式证(1)⇒(3)证：(2)用Hermit分解：若是Hermite()，则存在优阵，使为对角阵且A正...

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