矩阵理论赵迪知识总结-补特商公式!平方根

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1
补充结论与公式----平方根公式
特商公式:
2
1x
AxxH
=
,
其中
1
Ax x
=
，
1
是A的任一特征根，且
0x
是特征向量
正定阵定义：设 A是Hermite（
AAH=
）
n
Cx
是复向量，若
对一切非
0向量
0x
成立，则称 A为正定（Hermite）阵. “A>0”代表正定阵 A
半正定定义：设 A是Hermite（
AAH=
）
n
Cx
是复向量，若
对一切非
0向量
x
成立，则称 A为半正定（Hermite）. “
0A
”代表半正定阵 A
备注：半正阵定义中包含正定阵，正定阵是特殊的半正定阵
正定等价条件：设 A为Hermite（
AAH=
）则下列条件等价
（1）A为正定(A>0) ⇔(2)
A
有分解
,
HH
A P P A PP==或
，
P
可逆⇔
(3)特根
 
12
( ) 0 0 0
n
A
 
=   ， ，
为正—用特商公式证(1)⇒ (3)
证：(2)用Hermit 分解：若
A
是Hermite(
AA =
H
)，则存在优阵
Q
，
使
10
,
0
H
n
DD


==



A Q Q
为对角阵
且A正定(A>0)，则特根
n
,,,
21
都为正数
令
11
H2
00
C C =C C =D
0
0n
n

 
 
==
 
 


，则 ，且
故
= CC = C( C)
H H H H
D=A Q Q Q Q Q Q
，令
P QC=
,必可逆
则
, ( )
H H H H
A PP A P P==或
，即 (1) ⇒ (2)
另外，若有
H
A P P=
，
P
可逆，
因为
0x
时
2
0 ( ) ( ) 0
HH
Px x Ax Px Px Px  = 二次形 ＝
故 A正定(A>0) 即 (1) ⇔ (2) 证毕
…………………………………………………………………………………………
也有半正定等价条件：设 A为Hermite（
AAH=
）则下列条件等价
摘要：

1补充结论与公式----平方根公式特商公式:,其中，是A的任一特征根，且是特征向量正定阵定义：设A是Hermite（）是复向量，若对一切非0向量成立，则称A为正定（Hermite）阵.“A>0”代表正定阵A半正定定义：设A是Hermite（）是复向量，若对一切非0向量成立，则称A为半正定（Hermite）.“”代表半正定阵A备注：半正阵定义中包含正定阵，正定阵是特殊的半正定阵正定等价条件：设A为Hermite（）则下列条件等价（1）A为正定(A>0)⇔(2)有分解，可逆⇔(3)特根为正—用特商公式证(1)⇒(3)证：(2)用Hermit分解：若是Hermite()，则存在优阵，使为对角阵且A正...

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