矩阵理论赵迪知识总结-单阵补充判定1

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复习补充：一个单阵判别法及证明

备注正规阵都是单阵！(单阵包含正规阵)

备注：由单阵定义可知,单阵

AA 

恰有 n个无关的特征向量

备注：单阵判定法 1:

AA 

为单阵 ⇔

恰有 n个无关的特征向量

备注: 正规阵包含：对角阵，Hermite 阵与斜 Hermite 阵，优阵(包含实正交阵)

常见正规阵：

1.对角阵必正规

2 Hermite 阵与斜Hermite 阵(实对称与实反对称)必正规

3.优阵(包含实正交阵)必正规

……………………………………………………………………………………………………

备注：单阵包含正规阵！(正规阵是特殊单阵)，单阵集合如图示

单阵集合:

………………………………………………………………………………………………………

备注：单阵补充判别法(证明在下面给出)

(1)若



为A的不同根且

( )( ) ( ) 0

A I A I A I

  

− − − =

，则 A为单阵.

备注：用谱公式可简单证明，若A为单阵，则有

( )( ) ( ) 0

A I A I A I

  

− − − =

(2)若



为A全体不同根，且

( )( ) ( ) 0

A I A I A I

  

− − − 

，则 A非单阵

备注：设A有全体不同根为

1,,



，令多项式

()

() x



−

( ) ( )

()



−−

−12

1 2 1

, ( ) 1 ( ) ( ) 0

( ) ( ) k

f f f

  

   

= = = =

−−

有，

( ) ( )

() xx



−−

2 1 2 2

()

( ) ( )



   

−

−− 2j

( ) 1 ( ) 0

()



−，有，其它

正规阵

Hermit 阵

优阵

单阵

斜Hermit阵

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摘要：

1复习补充：一个单阵判别法及证明备注正规阵都是单阵！(单阵包含正规阵)备注：由单阵定义可知,单阵恰有n个无关的特征向量备注：单阵判定法1:为单阵⇔A恰有n个无关的特征向量备注:正规阵包含：对角阵，Hermite阵与斜Hermite阵，优阵(包含实正交阵)常见正规阵：1.对角阵必正规2Hermite阵与斜Hermite阵(实对称与实反对称)必正规3.优阵(包含实正交阵)必正规……………………………………………………………………………………………………备注：单阵包含正规阵！(正规阵是特殊单阵)，单阵集合如图示单阵集合:………………………………………………………………………………………………………备...

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