矩阵理论赵迪知识总结-单阵补充判定1

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1
复习补充：一个单阵判别法及证明
备注 正规阵都是单阵！(单阵包含正规阵)
备注：由单阵定义可知,单阵
nn
AA
=
恰有 n个无关的特征向量
1n
XX
备注：单阵判定法 1:
nn
AA
=
为单阵 ⇔
A
恰有 n个无关的特征向量
备注: 正规阵包含：对角阵，Hermite 阵与斜 Hermite 阵，优阵(包含实正交阵)
常见正规阵：
1.对角阵必正规
2 Hermite 阵与斜Hermite 阵(实对称与实反对称)必正规
3.优阵(包含实正交阵)必正规
……………………………………………………………………………………………………
备注：单阵包含正规阵！(正规阵是特殊单阵)，单阵集合如图示
单阵集合:
………………………………………………………………………………………………………
备注： 单阵补充判别法(证明在下面给出)
(1)若
1k

为A的不同根且
12
( )( ) ( ) 0
k
A I A I A I
 
− − − =
，则 A为单阵.
备注：用谱公式可简单证明，若A为单阵，则有
12
( )( ) ( ) 0
k
A I A I A I
 
− − − =
(2)若
1k

为A全体不同根，且
12
( )( ) ( ) 0
k
A I A I A I
 
− − − 
，则 A非单阵
备注：设A有全体不同根为
，令多项式
1
1
()
() x
fx
−
=2
11
( ) ( )
()
k
xx


−−
−12
1 2 1
, ( ) 1 ( ) ( ) 0
( ) ( ) k
k
f f f
 
   
= = = =
−−
有 ，
12
2
( ) ( )
() xx
fx

−−
=
2 1 2 2
()
( ) ( )
k
x
   
−
−− 2j
2
( ) 1 ( ) 0
()
k
ff


==
−，有 ，其它
正规阵
Hermit 阵
优阵
单阵
斜Hermit阵
摘要：

1复习补充：一个单阵判别法及证明备注正规阵都是单阵！(单阵包含正规阵)备注：由单阵定义可知,单阵恰有n个无关的特征向量备注：单阵判定法1:为单阵⇔A恰有n个无关的特征向量备注:正规阵包含：对角阵，Hermite阵与斜Hermite阵，优阵(包含实正交阵)常见正规阵：1.对角阵必正规2Hermite阵与斜Hermite阵(实对称与实反对称)必正规3.优阵(包含实正交阵)必正规……………………………………………………………………………………………………备注：单阵包含正规阵！(正规阵是特殊单阵)，单阵集合如图示单阵集合:………………………………………………………………………………………………………备...

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