矩阵理论赵迪知识总结-矩f(A)计算广谱更新

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1
本节主要内容：利用谱公式计算矩阵函数
复习(根遗传公式): 设n方阵 A根为
1
( ) { , , }
n
A
 
=
，则
()fA
的根为
1
[ ( )] { ( ), , ( )}
n
f A f f
 
=
其中
01
() k
k
f A c I c A c A= + + +
01
() k
k
f x c c x c x= + + +
为任一多项式(或解析函数)
备注(引理)：若多项式
()fx
使
则
()fx
的根包含 A的全体不同根（不含重复次数）
也即， A 的全体根都是
()fx
的根（不含重复）
证明：设n方阵 A全体根为
1
( ) { , , }
n
A
 
=
，则
()fA
的根为
1
[ ( )] { ( ), , ( )}
n
f A f f
 
=
由条件
0)( =Af
可知
,1
[ ( )] [0 ] {0, ,0} { ( ), , ( )}
n n n
f A f f
 
= = =
故
1
( ) ( ) 0
n
ff

= = =
，
即A全体根为
1
{ , , }
n

都是
()fx
的根
故A的全体不同根
1, , ( )
kkn

都是
()fx
的根（不含重复）
必有
1
( ) ( ) 0
k
ff

= = =
备注：若多项式
)(xf
使
0)( =Af
，称
()fx
为A的0化式
上面引理含义为：“A的0化式
()fx
含有 A的全体不同根（不含重复次数）”
推论： A 的全体根都是任一 0化式
()fx
的根（不含重复）
例如
100
0 1 0
0 0 2
A


=


，
( ) {1,1,2}A
=
，全体不同根
12
1( 2 ), 2

==重复 次
令
( ) ( 1)( 2)f x x x= − −
，可知
( ) ( 1)( 2) 0f A A A= − − =
，
即
( ) ( 1)( 2)f x x x= − −
为A的0化式
2
可知，A的全体根
{1,1,2}
都是
( ) ( 1)( 2)f x x x= − −
的根(不含重复次数)
（注意
( ) ( 1)( 2)f x x x= − −
只有 2个单根
12
1, 2

==
没有重复根）
例 已知 n阶阵
A
满足
23 2 0A A I− + =
，可知
2
( ) 3 2 ( 1)( 2)f x x x x x= − + = − −
为
A
的一个 0化式，故
()fx
的根{1，2}包含了
A
的全体根(不含重复次数)
即
A
最多有 2个不同根{1，2}.
例 已知 n阶阵
A
满足
2
AA=
(幂等) ，可知
2
( ) ( 1)f x x x x x= − = −
为
A
的一个 0化式，故
()fx
的根
{1,0}
包含了
A
的全体根(不含重复次数)
故
A
最多有 2个不同根
1,0
.
例 已知 n阶阵
A
满足
2
AI=
，可知
2
( ) 1 ( 1)( 1)f x x x x= − = − +
为
A
的一个 0化式，故
()fx
的根
{1, 1}−
包含了
A
的全体根(不含重复次数)
即
A
最多有 2个不同根
1, 1−
.
备注 1：若
0 ( 2)
k
Ak=
为幂0阵，则
A
的全体根为
( ) {0, ,0}A
=
)
证明：因为
0
k
A=
， 则
() k
f x x=
为
A
的一个 0化式，
可知
A
的全体根都是 0化式
() k
f x x=
的根 (不含重复次数)，且
0
k
x=
只有 0根，
故
A
的全体根为
( ) {0, ,0}A
=
----(全为 0根)
备注 2：若
( ) 0 ( 2)
k
A aI k− = 
，则
A
的全体根为
( ) { , , }A a a
=
--(n 重根)
即，平移幂 0阵
A
（
( ) 0
k
Aa−=
）的全体根为
( ) { , , }A a a
=
证：因为
( ) 0
k
A aI−=
， 则
( ) ( )k
f x x a=−
为
A
的0化式，
因为
A
的根都是 0化式
( ) ( )k
f x x a=−
的根 ，且
( ) 0
k
xa−=
只有一个不同根
xa=
，
故
A
的全体根为
( ) { , , }A a a
=
---(n 重根)
摘要：

1本节主要内容：利用谱公式计算矩阵函数复习(根遗传公式):设n方阵A根为，则的根为其中为任一多项式(或解析函数)备注(引理)：若多项式使则的根包含A的全体不同根（不含重复次数）也即，A的全体根都是的根（不含重复）证明：设n方阵A全体根为，则的根为由条件可知故，即A全体根为都是的根故A的全体不同根都是的根（不含重复）必有备注：若多项式使，称为A的0化式上面引理含义为：“A的0化式含有A的全体不同根（不含重复次数）”推论：A的全体根都是任一0化式的根（不含重复）例如，，全体不同根令，可知，即为A的0化式1(){,,}nA=()fA1[()]{(),,()}nfAff=01()kkfAc...

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