矩阵理论赵迪知识总结-矩f(A)计算广谱更新

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2025-01-13 43 0 383.01KB 10 页 5.9玖币

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本节主要内容：利用谱公式计算矩阵函数

复习(根遗传公式): 设n方阵 A根为

( ) { , , }

  

，则

()fA

的根为

[ ( )] { ( ), , ( )}

f A f f

  

其中

() k

f A c I c A c A= + + +

() k

f x c c x c x= + + +

为任一多项式(或解析函数)

备注(引理)：若多项式

()fx

使

( ) 0fA=

则

()fx

的根包含 A的全体不同根（不含重复次数）

也即， A 的全体根都是

()fx

的根（不含重复）

证明：设n方阵 A全体根为

( ) { , , }

  

，则

()fA

的根为

[ ( )] { ( ), , ( )}

f A f f

  

由条件

0)( =Af

可知

[ ( )] [0 ] {0, ,0} { ( ), , ( )}

n n n

f A f f

   

= = =

故

( ) ( ) 0



= = =

，

即A全体根为

{ , , }



都是

()fx

的根

故A的全体不同根

1, , ( )

kkn





都是

()fx

的根（不含重复）

必有

( ) ( ) 0



= = =

备注：若多项式

)(xf

使

0)( =Af

，称

()fx

为A的0化式

上面引理含义为：“A的0化式

()fx

含有 A的全体不同根（不含重复次数）”

推论： A 的全体根都是任一 0化式

()fx

的根（不含重复）

例如

100

0 1 0

0 0 2





=





，

( ) {1,1,2}A



，全体不同根

1( 2 ), 2



==重复次

令

( ) ( 1)( 2)f x x x= − −

，可知

( ) ( 1)( 2) 0f A A A= − − =

，

即

( ) ( 1)( 2)f x x x= − −

为A的0化式

可知，A的全体根

{1,1,2}

都是

( ) ( 1)( 2)f x x x= − −

的根(不含重复次数)

（注意

( ) ( 1)( 2)f x x x= − −

只有 2个单根

1, 2



没有重复根）

例已知 n阶阵

满足

23 2 0A A I− + =

，可知

( ) 3 2 ( 1)( 2)f x x x x x= − + = − −

为

的一个 0化式，故

()fx

的根{1，2}包含了

的全体根(不含重复次数)

即

最多有 2个不同根{1，2}.

例已知 n阶阵

满足

AA=

(幂等) ，可知

( ) ( 1)f x x x x x= − = −

为

的一个 0化式，故

()fx

的根

{1,0}

包含了

的全体根(不含重复次数)

故

最多有 2个不同根

1,0

例已知 n阶阵

满足

AI=

，可知

( ) 1 ( 1)( 1)f x x x x= − = − +

为

的一个 0化式，故

()fx

的根

{1, 1}−

包含了

的全体根(不含重复次数)

即

最多有 2个不同根

1, 1−

备注 1：若

0 ( 2)

Ak=

为幂0阵，则

的全体根为

( ) {0, ,0}A



)

证明：因为

，则

() k

f x x=

为

的一个 0化式，

可知

的全体根都是 0化式

() k

f x x=

的根 (不含重复次数)，且

只有 0根，

故

的全体根为

( ) {0, ,0}A



----(全为 0根)

备注 2：若

( ) 0 ( 2)

A aI k− = 

，则

的全体根为

( ) { , , }A a a



--(n 重根)

即，平移幂 0阵

（

( ) 0

Aa−=

）的全体根为

( ) { , , }A a a



证：因为

( ) 0

A aI−=

，则

( ) ( )k

f x x a=−

为

的0化式，

因为

的根都是 0化式

( ) ( )k

f x x a=−

的根，且

( ) 0

xa−=

只有一个不同根

xa=

，

故

的全体根为

( ) { , , }A a a



---(n 重根)

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摘要：

1本节主要内容：利用谱公式计算矩阵函数复习(根遗传公式):设n方阵A根为，则的根为其中为任一多项式(或解析函数)备注(引理)：若多项式使则的根包含A的全体不同根（不含重复次数）也即，A的全体根都是的根（不含重复）证明：设n方阵A全体根为，则的根为由条件可知故，即A全体根为都是的根故A的全体不同根都是的根（不含重复）必有备注：若多项式使，称为A的0化式上面引理含义为：“A的0化式含有A的全体不同根（不含重复次数）”推论：A的全体根都是任一0化式的根（不含重复）例如，，全体不同根令，可知，即为A的0化式1(){,,}nA=()fA1[()]{(),,()}nfAff=01()kkfAc...

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