矩阵理论赵迪知识总结-平方根与乔利分解

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乔利斯分解与平方根公式
定理：若 A>0(正定)，则有
AH
RR=
，其中
1
=
0n
b
R
b





为上三角阵，且
10, , 0
n
bb
. 注：
AH
RR=
叫乔利斯分解
Pf: A>0,必有可逆阵 P, 使
AH
PP=
(正定的重要结论)
对P使用 QR 分解，即
P QR=
，其中 R为上三角阵，Q为优阵(
H
Q Q I=
)
可得分解:
H
A R R=
，
1
=
0n
b
R
b





为上三角，且
10, , 0
n
bb
.
平方根分解：若 A>0(正定)，则有
2
AB=
,B>0(正定)，且矩阵 B唯一，
可写：
BA=
,
2
()AA=
.
Pf: A>0，必有 Hermite 分解(Q 为优阵):
1
1
0
,( )
0
H H H
n
A QDQ Q Q Q Q
−


= = =



其中,
10
0n
D


=


,且
10, , 0
n


令
10
0
0n
D


=



定义
,
D
为正定阵，且有
H
(DD=）
,
2
()D D D D==
.
令
H
B Q D Q B=
为Hermite 阵，且
1
B Q D Q−
=
，
 
1
( ) ( D) , n
B
 
==
全为正根！.
H
B Q D Q=
为正定阵，且可验证
摘要：

乔利斯分解与平方根公式定理：若A>0(正定)，则有，其中为上三角阵，且.注：叫乔利斯分解Pf:A>0,必有可逆阵P,使(正定的重要结论)对P使用QR分解，即，其中R为上三角阵，Q为优阵()可得分解:，为上三角，且.平方根分解：若A>0(正定)，则有,B>0(正定)，且矩阵B唯一，可写：,.Pf:A>0，必有Hermite分解(Q为优阵):其中,,且令,为正定阵，且有,.令为Hermite阵，且，全为正根！.为正定阵，且可验证AHRR=1=0nbRb10,,0nbbAHRR=AHPP=PQR=HQQI=()()()HHHHHAPPQRQRRQQRRR====HARR=...

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