矩阵理论赵迪知识总结-平方根与乔利分解

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乔利斯分解与平方根公式

定理：若 A>0(正定)，则有

RR=

，其中









为上三角阵，且

10, , 0

bb

. 注：

RR=

叫乔利斯分解

Pf: A>0,必有可逆阵 P, 使

PP=

(正定的重要结论)

对P使用 QR 分解，即

P QR=

，其中 R为上三角阵，Q为优阵(

Q Q I=

)

( ) ( ) ( )

H H H H H

A P P Q R Q R R Q Q R R R = = = =

可得分解:

A R R=

，









为上三角，且

10, , 0

bb

平方根分解：若 A>0(正定)，则有

AB=

,B>0(正定)，且矩阵 B唯一，

可写：

BA=

()AA=

Pf: A>0，必有 Hermite 分解(Q 为优阵):

,( )

H H H

A QDQ Q Q Q Q



−





= = =





其中,







=





,且

10, , 0





令







=





定义

为正定阵，且有

(DD=）

()D D D D==

令

B Q D Q B=

为Hermite 阵，且

B Q D Q−

，

 

( ) ( D) , n

   

全为正根！.

B Q D Q=

为正定阵，且可验证

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摘要：

乔利斯分解与平方根公式定理：若A>0(正定)，则有，其中为上三角阵，且.注：叫乔利斯分解Pf:A>0,必有可逆阵P,使(正定的重要结论)对P使用QR分解，即，其中R为上三角阵，Q为优阵()可得分解:，为上三角，且.平方根分解：若A>0(正定)，则有,B>0(正定)，且矩阵B唯一，可写：,.Pf:A>0，必有Hermite分解(Q为优阵):其中,,且令,为正定阵，且有,.令为Hermite阵，且，全为正根！.为正定阵，且可验证AHRR=1=0nbRb10,,0nbbAHRR=AHPP=PQR=HQQI=()()()HHHHHAPPQRQRRQQRRR====HARR=...

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