矩阵理论赵迪知识总结-三个矩阵函数x1.1

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1
3个矩阵函数
3个常见解析函数(Taylor 级数)
()fx
与矩阵函数
()fA
，其中
A
为方阵
(1)令
( )
2
11
12! !
xk
f x e x x x
k
= = + + + + +
, 把
x
作为不定元
令
()xA=方阵
代入可得
记为
0
1
!
k
k
ek
=
=
AA
，
0
1
!
xk
k
ex
k
=
=
(2) 令
3 5 7
( ) sin 3! 5! 7!
x x x
f x x x= − + − +＝
，令
()xA=方阵
可得
3 5 7
( ) sin (
3! 5! 7!
A A A
f A A A A= − + − +＝ 的正弦)
记为
21
k0
sin ( 1) (2 1)!
k
k
k
+
=
=− +
A
A
，
21
k0
sin ( 1) (2 1)!
k
kx
xk
+
=
=− +
(3) 取
2 4 6
( ) cos 2! 4! 6!
x x x
f x x x= − + − +＝
，令
()xA=方阵
可得
2 4 6
( ) cos (
2! 4! 6!
A A A
f A A I A= − + − +＝ 的余弦)
记为
2
k0
cos ( 1) (2 )!
k
k
k
=
=−
A
A
，
2
k0
cos ( 1) (2 )!
k
kx
xk
=
=−
为了方便应用，常引入一个参数
t
(1)令
)()( 为参数＝texf xt
可得
+++++= !!32
)( 3322
k
AtAtAt
tAIeAf kk
tA ＋＝
特别
1t=时
，
23
12 3! !
k
AA A A
ex k
= + + + + +＋
(2) 令
( ) sin( )f x tx=
可得
2
3 3 5 5 7 7
( ) sin( ) 3! 5! 7!
t A t A t A
f A tA tA= − + − +＝
(3)令
)cos()( txxf ＝
可得
2 2 4 4 6 6
( ) cos( ) 2! 4! 6!
t A t A t A
f A tA I= − + − +＝
备注：
,sin ,cos
A
e A A
对任何方阵
A
都有定义如下
23
12 3! !
k
AA A A
eA k
= + + + + +＋
,
3 5 7
sin 3! 5! 7!
A A A
AA= − + − +
，
2 4 6
cos 2! 4! 6!
A A A
AI= − + − +
备注：
,sin ,cos
A
e A A
有如下基本性质
(1)若
,
00
nn
A==
(零方阵)，则
0
eI=
,
cos0 , sin0 0I==
23
000
2 3!
e I I= + + + =＋0
；
2 4 6
0 0 0
cos0 2! 4! 6!
II= − + − + =
，且
sin0 0=
(2)
cos( ) cos , sin( ) sinA A A A− = − = −
2 4 6 2 4 6
( ) ( ) ( )
cos( ) cos
2! 4! 6! 2! 4! 6!
A A A A A A
A I I A
− − −
− = − + − + = − + − + =
3 5 7 3 5 7
( ) ( ) ( )
sin( ) ( ) ( ) sin
3! 5! 7! 3! 5! 7!
A A A A A A
A A A A
− − −
− = − − + − + = − − + − + = −
(3) Euler 公式：
cos sin , cos sin , 1
iA iA
e A i A e A i A i
−
= + = − = −
或Euler 公式
( ) ( )
11
cos , sin
22
iA iA iA iA
A e e A e e
i
−−
= + = −
证明：由定义
+++++= !4
)(
!3
)(
2
)( 432 iAiAiA
iAIeiA
2 3 4 5 6 7
2 3! 4! 5! 6! 7!
A iA A iA A iA
I iA= + − − + + − − +
2 4 6 3 5 7
2 4! 6! 3! 5! 7!
A A A A A A
I i A
 
= − + − + + − + − +
 
 
3
AiA sincos +=
（由
cos , sinAA定义
）
因为
cos( ) cos( ), sin( ) sin( )A A A A− = − = −
，可知
() cos( ) sin( ) cos sin
iA i A
e e A i A A i A
−−
= = − + − = −
证毕
特别：取 1阶矩阵
)(xA =
（
x
为任一复数），
代入 Euler 公式
cos sin , cos sin
iA iA
e A i A e A i A
−
= + = −
得“经典 Euler 公式”：
cos sin , cos sin
ix ix
e x i x e x i x
−
= + = −
即
( ) ( )
11
cos , sin
22
ix ix ix ix
x e e x e e
i
−−
= + = −
备注: 用
()tx
代替
x
，可得含参数
t
的Euler 公式
cos( ) sin( ), cos( ) sin( )
itx itx
e tx i tx e tx i tx
−
= + = −
cos( ) sin( ), cos( ) sin( )
itA itA
e tA i tA e tA i tA
−
= + = −
交换公式：若AB=BA 可交换，则有交换公式
ABBABA eeeee ==+
注：
( )
2222
22))((BABABBAABABABABA ++=+++=++=+
(
ABBA=
)
同理
3 2 3 2 2 3
( ) ( )( ) 3 3A B A B A B A A B AB B+ = + + = + + +
(
ABBA=
)
Pf 证：
234 234
2 3! 4! 2 3! 4!
AB A A A B B B
e e I A I B
   
= + + + + + + + + + +
   
   
( )
( ) ( )
22
2 2 3 2 2 3
23
()
22
11
( ) 2 3 3
2 3!
11
( ) ( ) ( )
2 3!
AB
AB
I A B AB
I A B A AB B A A B AB B
I A B A B A B
e+

= + + + + + + +


= + + + + + + + + + +
= + + + + + + +
=
定义
即有
A B A B
e e e +
=
，同理可知
B A B A
e e e +
=
， 显然
B A A B
ee
++
=
故，
ABBABA eeeee ==+
证毕
备注(特别公式)：
Ieeee AAAA ==−−
证明：
IeeeeAAAA AAAA ===−=− −+− 0)(
)()(
摘要：

13个矩阵函数3个常见解析函数(Taylor级数)与矩阵函数，其中为方阵(1)令,把作为不定元令代入可得记为，(2)令，令可得记为，(3)取，令可得记为，为了方便应用，常引入一个参数(1)令可得特别，(2)令可得()fx()fAA()21112!!xkfxexxxk==+++++x()xA=方阵23()1(23!!kAAAAfAeAAk==+++++＋的指数函数)01!kkek==AA01!xkkexk==357()sin3!5!7!xxxfxxx=−+−+＝()xA=方阵357()sin(3!5!7!AAAfAAAA=−+−+＝的正弦)21k0sin(1)(21)!kkk+==−+...

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