矩阵理论赵迪知识总结-许尔公式1.2

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主要内容：许尔公式 2

n n 1 2

1 1 1

1 1 2 2 n

1 2 n

P P , P ( )---

P = P = P =

1 0 0

0 1 0

, , ,

0 0 1

e e e

  



− − −

     

     

= = =

     

     

可写 , , , 按列分块

，，，

补充公式：设n可逆阵

则

其

有

中e e e

引理 1: 若A为2阶方阵，则存在 2阶优阵 Q( Q-1=QH ), 使

-1

Q AQ= 0











为上三角

-1 -1

2 2 1 2

-1 -1 - 1

-1

X= 0 AX X X =1

X Q (X|Y) , Q X=e ,Q Y=e

AQ=(AX|AY)=( X|AY)

Q AQ=( Q X|Q

, ||

)=( e |Q AY) = 0













=





   

= = =

   

   













记为

证：任取一个特根与征向，使

把扩大为2阶优阵可知

计算可知，

为上三角.

相似于上三角

且模长

，

-1

Q AQ= 0











它们必有相同特征根!

可写，证毕

例1：

1 3 1 1 1 1

Q Q Q

2 2 1 1 1 1

−

     

= = = =

     

−

     

A，令优阵，，可知

11 1 1 3 1 1 3 5 1 1 8 2 4 1

1 1 1

QQ 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 2 0 1

2 2 2

−−−

          

= = = =

          

− − − −

          

A为上三角

例2：

2 i 1 i 1 i 1

Q Q Q

1 2 i 1 i 1 i

−

+−

     

= = = =

     

−−

     

A，令优阵，，可知

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摘要：

主要内容：许尔公式2引理1:若A为2阶方阵，则存在2阶优阵Q(Q-1=QH),使例1：例2：nn121111122n12nPP,P()---P=P=P=100010,,,001nneee−−−=====可写,,,按列分块，，，补充公式：设n可逆阵则其有中eee1-12QAQ=0为上三角1111112-1-12212-1-1-111-11X=0AXXX=110XQ(X|Y),QX=e,QY=e01AQ=(AX|AY)=(X|AY)*QAQ=(QX|Q,||AY||)=(e|QAY)=0*A0x...

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