矩阵理论赵迪知识总结-许尔估计证明

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许尔估计：每个 n阶方阵

=(a ) Cnn



A

必有

2 2 2 2

2 2 2

| | | | | | |

| | | | | |

n ij

a A A A AA

  



+ + + 

+ + =  =



|，

且为正规阵()

Pf(证)：设 n阶方阵

=(a )

，全体特根为

( ) { , , , }

   

由许尔公式可知，存在优阵 Q使得





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

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(上三角)，

1H−

=QQ

且有

()

H H H H H

==A A DQ Q Q Q

可得

( ) ( )( )

H H H H H H

AA DD==AAQ Q Q Q Q Q

由于

1H−

=QQ

可知相似公式：

1()

AA DD

−=QQ(相似)

必有迹相同

( ) ( )

tr AA tr DD=

利用迹公式

tr( ) tr( )

A A AA a==



可知

2 2 2 2

, 1 1

| | | | | | | |

i j n n

   

= + + +   + +



即

2 2 2 2

| | | | | | |

n ij

  

+ + +  

如果

2 2 2 2

| | | | | | | ,

n ij

  

+ + + = 

|由上式可知

2 2 2 2

| | | | = | | | | =0

D =0

   

+ + +  + + 





必有

即中每个()









AD可知 Q Q 为对角(正规阵)

D HH

A A A A AA=即优相似于正规阵，则为正规阵()

推论：

2 2 2

| | | | | |

n ij



+ +  

非正规

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摘要：

1许尔估计：每个n阶方阵必有Pf(证)：设n阶方阵，全体特根为由许尔公式可知，存在优阵Q使得(上三角)，且有可得由于可知相似公式：必有迹相同利用迹公式可知即如果推论：=(a)CnnijA2222122221|||||||||||||nijHHnijaaAAAAA+++++==|，且为正规阵()=(a)ijA12(){,,,}nA=1*0Hn==ADQQ1H−=QQ()HHHHH==AADQQQQ()()()HHHHHHAADD==AAQQQQQQ1H−=QQ1()HHAADD−=QQ(相似)()()HHtrAAtrDD=2,tr()tr()...

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