矩阵理论赵迪知识总结-许尔估计证明

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1
许尔估计： 每个 n阶方阵
=(a ) Cnn
ij
A
必有
2 2 2 2
12
2 2 2
1
| | | | | | |
| | | | | |
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HH
n ij
a
a A A A AA
 

+ + +
+ + = =
|，
且 为正规阵()
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=(a )
ij
A
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12
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n
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 
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1*
0
H
n

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==


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(上三角)，
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=QQ
且有
()
H H H H H
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可得
由于
1H−
=QQ
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HH
AA DD
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( ) ( )
HH
tr AA tr DD=
利用迹公式
2
,
tr( ) tr( )
HH
ij
A A AA a==
可知
22
2 2 2 2
, 1 1
| | | | | | | |
i j n n
a
   
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
即
2 2 2 2
12
| | | | | | |
n ij
a
 
+ + +
|
如果
2 2 2 2
12
| | | | | | | ,
n ij
a
 
+ + + =
|由上式可知
22
2 2 2 2
11
| | | | = | | | | =0
D =0
nn
   
+ + + + +

必有
即 中每个()
10
0
H
n


==



AD可知 Q Q 为对角(正规阵)
D HH
A A A A AA=即 优相似于正规阵 ，则 为正规阵()
推论：
2 2 2
1
| | | | | |
n ij
aA

+ +
非正规
摘要：

1许尔估计：每个n阶方阵必有Pf(证)：设n阶方阵，全体特根为由许尔公式可知，存在优阵Q使得(上三角)，且有可得由于可知相似公式：必有迹相同利用迹公式可知即如果推论：=(a)CnnijA2222122221|||||||||||||nijHHnijaaAAAAA+++++==|，且为正规阵()=(a)ijA12(){,,,}nA=1*0Hn==ADQQ1H−=QQ()HHHHH==AADQQQQ()()()HHHHHHAADD==AAQQQQQQ1H−=QQ1()HHAADD−=QQ(相似)()()HHtrAAtrDD=2,tr()tr()...

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