矩阵理论赵迪知识总结-正规谱分解更新

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注：实对称(反对称)、Hermit 阵(斜H阵)、U(实正交阵)都为
正规阵
复习：正规分解定理：若
nn
AA
=
正规，全体互异根为
1k
,,

， 则有
11
kk
I0
D
0I
H
Q AQ


==



（把重根写在一起），Q为U阵，
1−
=QQH
；
1k
, ,II
为小单位阵；例如
1
2
1
2212
2
3
31
3
31
I
DI





 



= = = 

 


 

 

也可写如下
正规分解定理：若
nn
AA
=
正规，全体互异根为
1k
,,

， 则有
（把重根写在一起），Q为U阵(可逆)
1
QQ I
−=
.
1k
, ,II
为小单位阵；例如
1
2
1
2212
2
3
31
3
31
I
DI





 



= = = 

 


 

 

可设
11
1
kk
I0
D
0I
Q AQ
−


==



( Q 为U阵，
1−
=QQH
） ①
写
1
1 2 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0
k
k
I
DI
I
 
 
 
= + + +
 
 
 
令
1
1 2 2
0 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0
s
k
I
D D I D
I
 
 
= = =
 
 
 
代入①
11 1 2 2
Dkk
Q AQ D D D
 
−= = + +
显然，知：①
1
12
D D Dk
k
I
I
I


+ + = =



（单位阵）
②
12
D D 0, ,D D 0 ( )
ij ij= = 
③
22
11
D D , ,D D
kk
==
（幂等），
由
11 1 2 2
Dkk
Q AQ D D D
 
−= = + + +
11
11
D ( )
kk
A Q Q Q D D Q

−−
= = + +
；
11
11
( ) ( )
kk
A QDQ QD Q

−−
= + +
，
令
11
11
,,
kk
G QDQ G QD Q
−−
==
11 kk
A G G

= + +
②
（利用以上结论可知）有如下公式：
①
12 k
G G G I+ + + =
1 1 1
1 2 1
()
kk
G G G Q D D Q QIQ QQ I
− − −
+ + + = + + = = =
②
12 0GG =
， ，
)(0 jiGG ji =
1 1 1
1 2 1 2 1 2
( )( ) ( ) 0GG QDQ QD Q Q D D Q
− − −
= = =
，
③
22
11
,,
kk
G G G G==
，且
11
,,
HH
kk
G G G G==
都是 hermite
2 1 2 2 1 1
1 1 1 1 1
G QDQ QD Q QDQ G
− − −
= = = =（ ）
又可知
1 1 1 1 1
H H H H H H
G QDQ QD Q QDQ G= = = =（ ）
是hermite
同样，
1,k
GG
都是 hermite
本节主要公式
正规阵谱公式：若
nn
AA
=
正规，全体互异根为
1k
,,

， 则有
11 kk
A G G

= + +
（叫
A
的谱分解）
且有：①
12 k
G G G I+ + =
，②
12 0GG =
， ，
)(0 jiGG ji =
③
22
11
,kk
G G G G==
（幂等），且
11
,,
HH
kk
G G G G==
摘要：

注：实对称(反对称)、Hermit阵(斜H阵)、U(实正交阵)都为正规阵复习：正规分解定理：若正规，全体互异根为，则有（把重根写在一起），Q为U阵，；为小单位阵；例如也可写如下正规分解定理：若正规，全体互异根为，则有（把重根写在一起），Q为U阵(可逆).为小单位阵；例如可设(Q为U阵，）①写令代入①nnAA=1k,,11kkI0D0IHQAQ==1−=QQH1k,,II12122122331331IDI===nnAA=1k,,111kkI0D0IQAQ−==...

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