矩阵理论赵迪知识总结-正规阵简介改

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1
正规阵定义：若方阵
A
适合
HH AAAA =
，则 A叫正规阵.
注：正规阵必为方阵 （
HH AAAA =
叫正规条件）
例：1.
−
=11
11
A
正规，
20
02
HH
A A AA

==


A
为正规
2.
ii
ii
A−

=

正规：因
20
02
HH
A A AA

==


备注: 由正规条件
HH AAAA =
，且
()
HH
AA=
可知
“
A
正规⇔
H
A
正规，且
A
不正规⇔
H
A
不正规”
(记住)常见正规阵：
1． 对角阵
=
n
a
a
A
0
0
1
必正规
H
nnnnnn
HAA
a
a
a
a
aa
aa
a
a
a
a
AA =
=
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0111111
例：
i0
0 3i
A
=

对角必正规，
10
09
HH
A A AA

==


2． Hermite 阵与斜Hermite 阵必正规（
H
AA=
）
HH
A A AA AA= = 
； 例
1i
i1
A−

=

Hermite 必正规；
i1
1i
B−

=

斜Hermit 正规
3． 实对称与实反对称阵都正规（
T n n
A A R
= 
；且
HT
AA=
）
例： 实对称
0 1 1
21 1 0 1
12 1 1 0








，
必正规； 实反对称
01
10
−



必正规
4． 优阵(包含实正交阵)必正规
)( 1−
=== AAAAIAA HHH
例如，优阵
10
1B
10
2
ii
Aii
−
 
==
 
 
，优阵 （也是hermit)
必正规
2
由已知正规阵可得新正规阵的方法如下：
倍数法则：若A正规，任取倍数 k, 则
kA
正规，特别
A−
正规（证明显然）
例如
0 0 1 1 11
0 = 1 0 1 =
2 1 2
1 1 0
ii ii
i i i i
ii
i i i
   
   
   
 
 
， 都正规
；
又例：
=i
i
A1
1
2
1
（U阵）正规
B
i
i
A=
=1
1
2
也正规
平移法则：若A正规，则
A cI
正规（
cIA
也正规）
证：
HH
A=A
H H H H
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
AA
A cI A cI A cI A cI A cI A cI A cI A cI+ + = + + + + = + +
=
即
A cI+
正规. 用
c−
代替
c
可知
A cI−
正规
由此可知
备注： 若A正规，则
, , I A I A cI kA+ −
都正规
补充定理：若A正规，则
H
AA与
必有相同特征向量
即 若A正规，且
AX cX=
，则
H
A X cX=
证明：只要证
( ) 0
H
A cI X−=
, 即
( ) 0
H
A cI X−=
.
因为
2
( ) 0 ( ) | 0A cI X A cI X− = − =可知|
，利用模长公式
2
|| H
X X X=
可得
2
( ) | (( ) ) ( ) ( ) ( )
H H H
A cI X A cI X A cI X X A cI A cI X− = − − = − −0=|
利用平移法可知
A cI−
正规：
( ) ( ) ( )( )
HH
A cI A cI A cI A cI− − = − −
故
22
( ) | ( )( ) |( ) |
H H H
A cI X X A cI A cI X A cI X− = − − = −0=|
即
2
|( ) | 0
H
A cI X−=
⇒
( ) 0
H
A cI X−=
⇒
H
A X cX=
证毕
备注： 上面结论可写为 “若 A正规，则
AX cX=
⇔
H
A X cX=
”
备注： 若A的特根为
 
1
( ) , , n
A
 
=
，则
H
A
特根为
 
1
( ) , ,
Hn
A
 
=
例：
−
=01
10
A
正规，则平移后
1
1
t
A tI tI A t
−

+ = + = 

也正规
特别，
1 1 0 1
1 1 1 0 I A I
−−
 
= + = +
 
 
正规
摘要：

1正规阵定义：若方阵适合，则A叫正规阵.注：正规阵必为方阵（叫正规条件）例：1.正规，为正规2.正规：因备注:由正规条件，且可知“正规⇔正规，且不正规⇔不正规”(记住)常见正规阵：1．对角阵必正规例：对角必正规，2．Hermite阵与斜Hermite阵必正规（）；例Hermite必正规；斜Hermit正规3．实对称与实反对称阵都正规（；且）例：实对称必正规；实反对称必正规4．优阵(包含实正交阵)必正规例如，优阵必正规AHHAAAA=HHAAAA=−=1111A2002HHAAAA==AiiiiA−=2002HHAAAA==HHAAAA=(...

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