最优化理论与方法课件1convex set

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2 凸性：凸集 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

凸集

几何上，包含其中每对点之间

连线的集合是凸的！

由定义，空集、单点集和均是凸的 .

∑

𝑖=1

𝑘

𝜃

𝑖

𝒙

𝒊

设是正整数，的凸组合 (convex combination) ：

，其中

称包含的最小凸集是的凸包 (convex hull) ，记作 . 能证

明 :

conv 𝑋=¿

¿¿ 𝑋⊆𝑋

𝛼

,𝑋

𝛼

是凸集 𝑋

𝛼

定义 2.1.1 称集合是凸的 (convex) ，如果对每个和每个实数

点

是凸集当且仅当 .

2 凸性：凸集 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

保凸运算

交：已知集合，且，是凸的凸

注意：可以是有限、可列无限和不可列无限集合

直积：和分别是和中的凸集

伸缩：是凸的，是实数凸

和：和均是中的凸集

是中的凸集

⇓

是中的凸集

⇓

仿射映射：已知

是中的凸集是中的凸集

D是中的凸集是中的凸集

2 凸性：凸集 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础 )

常见凸集

超平面  ，称是超平面的法向量





多面集 多面体 

仿射集 

已知和 .

已知向量和标量 .

维标准单纯形：

∆

𝑛

{

𝒙∈ℝ

𝑛

:𝒙≥𝟎,

∑

𝑖=1

𝑛

𝑥

𝑖

}

 维标准单纯形：

∆

𝑛

+¿=

{

𝒙∈ℝ

𝑛

:𝒙≥𝟎,

∑

𝑖=1

𝑛

𝑥

𝑖

≤1

}

已知 . 如果线性无关 . 顶点为的维单纯形 

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摘要：

2凸性：凸集LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)凸集几何上，包含其中每对点之间连线的集合是凸的！由定义，空集、单点集和均是凸的.∑��=1��设是正整数，的凸组合(convexcombination)：，其中称包含的最小凸集是的凸包(convexhull)，记作.能证明:conv��=¿¿¿��⊆��,��是凸集��定义2.1.1称集合是凸的(convex)，如果对每个和每个实数点是凸集当且仅当.2凸性：凸集LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)保凸运算交：已知集合，且，是凸的凸注意：可以是有限、可列无限和不可列无限集合直...

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