最优化理论与方法课件9equalityconstrainedOC

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5 约束优化的理论：等式约束优化的最优性条件 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

全局极小点与局部极小点

理想：全局极小点

现实 (理论和算法 )：一般是针对局部极小点

当问题具有某

种凸性时

全局极小点也

是局部极小点

在应用中，对于很多非凸问题，局部极小点也是够用的

课程内容：

凸性：凸集、凸函数、凸优化

刻画局部极小点

设计各种求问题局部极小点的算法

(假设 , 或者极小点 ).

5 约束优化的理论：等式约束优化的最优性条件 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

(x*,y*)

Lagrange 乘子的存在性及其几何意义

代数表述：

设是在曲线

上的局部极小 /极大点，且

则存在满足

用隐函数定理证明！

𝒉

(

𝒙,𝒚

)

=𝒄

∇𝒉

(

𝒙

∗

,𝒚

∗

)

≠𝟎

几何意义：

与曲线在最优解

处具有公共切线 .

曲面 z = f (x, y) 的等高线

𝒇

(

𝒙,𝒚

)

=𝑓

(

𝒙

∗

,𝒚

∗

)

5 约束优化的理论：等式约束优化的最优性条件 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

等式约束问题

(ECP)

其中，

定义 5.1.1 设点满足 . 如果梯度向量线性无

关，则称是约束 (regular point).

的列线性无关

非奇异（正定）

5 约束优化的理论：等式约束优化的最优性条件 LHY-SMS-BUAA

最优化理论与方法 I ( 最优化基础

)

一阶必要条件

定理 5.1.1 假设 (ECP) 中. 若是 (ECP) 的极小点 , 则存在

唯一的满足

证明由的局部最优性，存在使得

(5.1.2)

其中 .

思路：构造序列

{

𝝀

𝑘

}

→𝝀

已知 , ，设

𝒙

𝑘

∈arg min

𝒙∈𝑋

𝐹

𝑘

(

𝒙

)

≔ 𝑓

(

𝒙

)

+𝑘

‖

𝒉(𝒙)

‖

+𝛼

‖

𝒙−𝒙

∗

‖

因为是紧集且连续，由 Weierstrass 定理知是良定义的 .

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摘要：

5约束优化的理论：等式约束优化的最优性条件LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)全局极小点与局部极小点理想：全局极小点现实(理论和算法)：一般是针对局部极小点当问题具有某种凸性时全局极小点也是局部极小点在应用中，对于很多非凸问题，局部极小点也是够用的课程内容：凸性：凸集、凸函数、凸优化刻画局部极小点设计各种求问题局部极小点的算法(假设,或者极小点).5约束优化的理论：等式约束优化的最优性条件LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)(x*,y*)Lagrange乘子的存在性及其几何意义代数表述：设是在曲线上的局部极小/极大点，且则存在满足用隐函数定理证明！...

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