最优化理论与方法课件14multipliermethod

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6 约束优化的方法：乘子法与交替方向乘子法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
6.2 乘子法
事实：对充分大的 , .
动机：构造新的惩罚函数，使得固定某罚参数后，无约
束优化问题的解与原始问题的相同！
二次罚函数法：已知罚参数
通常， 从而欲，必有 !
得到的局部极小点
min imize
𝒙∈𝑋
𝑓(𝒙)
subject ¿h
𝑖
(
𝒙
)
=0,𝑖=1,⋯,𝑚
(6.1.1)
为了简洁，可设
6 约束优化的方法：乘子法与交替方向乘子法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
Powell-Hestenes 函数
方法 1 (Powell, 1969) 改造约束函数：
是(6.1.1) 的乘子罚函数 /增广 Lagrange 函数 /Powell-Hestenes
函数
方法 2 (Hestenes, 1969)　改造目标函数：
平移约束
h
𝑖
(
𝒙
)
=0→h
𝑖
(
𝒙
)
−𝜃
𝑖
=0
𝜆
𝑖
=−𝑐 𝜃
𝑖
∀𝑖
𝐿
𝑐
(
𝒙,𝝀
)
=𝑓
(
𝒙
)
+𝝀
𝑇
𝒉
(
𝒙
)
+𝑐
2
‖
𝒉
(
𝒙
)
‖
2
2
𝑞
𝑐
(
𝒙,𝜽
)
=𝑓
(
𝒙
)
+𝑐
2
‖
𝒉
(
𝒙
)
−𝜽
‖
2
2
其中平移向量
是待定参数
是(P1) 的二次罚函数 , 是(P2) 的Lagrange 函数 .
𝑓
(
𝒙
)
→𝐿
(
𝒙,𝝀
)
其中是待定
参数
subject ¿𝒉
(
𝒙
)
=𝟎
(P2)
subject ¿𝒉
(
𝒙
)
=𝟎
(P1)
6 约束优化的方法：乘子法与交替方向乘子法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
乘子罚函数－例 1
min imize
𝑥∈ℝ
𝑥
subject ¿1−𝑥=0.
𝑥
∗
=1,𝜆
∗
=1
𝑞
𝑐
(
𝑥,𝜃
)
=𝑥+𝑐
2
(
1−𝑥−𝜃
)
2
𝐿
𝑐
(
𝑥,𝜆
)
=𝑥+𝜆
(
1−𝑥
)
+𝑐
2
(
1−𝑥
)
2
取1
的极小点
𝑥
𝑐
(
𝜃
)
=1−𝜃−1
𝑐
取
的极小点
6 约束优化的方法：乘子法与交替方向乘子法 LHY-SMS-BUAA
最优化理论与方法 I ( 最优化基础
)
乘子罚函数－例 2
min imize
𝒙∈ℝ
2
−𝑥
1
−𝑥
2
subject ¿𝑥
1
2
+𝑥
2
2
−1=0.
𝐿
𝑐
(
𝒙,𝜆
)
=−𝑥
1
−𝑥
2
+𝜆
(
𝑥
1
2
+𝑥
2
2
−1
)
+𝑐
2
(
𝑥
1
2
+𝑥
2
2
−1
)
2
𝒙
∗
=(
√
2/2,
√
2/2),
的等值线
的极小点 .
取
摘要：

6约束优化的方法：乘子法与交替方向乘子法LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)6.2乘子法事实：对充分大的,.动机：构造新的惩罚函数，使得固定某罚参数后，无约束优化问题的解与原始问题的相同！二次罚函数法：已知罚参数通常，从而欲，必有!得到的局部极小点minimize∈()subject¿h()=0,=1,⋯,(6.1.1)为了简洁，可设6约束优化的方法：乘子法与交替方向乘子法LHY-SMS-BUAA最优化理论与方法I(最优化基础)Powell-Hestenes函数方法1(Powell,1969)改造约束函数：是(6.1.1)的乘子罚函数/增广L...

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