115单摆及其等效重力加速度问题 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题
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2025-01-03
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115 单摆及其等效重力加速度问题
一.必备知识
1.对单摆的理解
(1)回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，
F
回＝－
mg
sin
θ
＝－
x
＝－
kx
，负号表示
回复力
F
回与位移
x
的方向相反。
(2) 向 心 力 ：细 线 的 拉 力 和重 力 沿 细线 方 向 的 分 力的 合 力 充当 向 心 力，
F
向＝
F
T－
mg
cos
θ
。
两点说明：
① 当摆球在最高点时，
F
向＝＝0，
F
T＝
mg
cos
θ
。
② 当摆球在最低点时，
F
向＝，
F
向最大，
F
T＝
mg
＋
m
。
(3)单摆是一个理想化模型，摆角
θ
<5°时，单摆的周期为
T
＝2π，与单摆的振幅
A
、摆
球质量
m
无关，式中的
g
由单摆所处的位置决定。
(4)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。
(5)单摆的周期只由摆长和重力加速度决定。
(6)单摆的振幅可用角度或长度表示，振幅若用长度表示，指的是摆球偏离平衡位置的最
大弧长(近似等于摆球偏离平衡位置的水平位移的最大值)。
(7)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：
E
＝
E
pmax＝
mgl
(1－
cos
θ
max)。
2．等效摆长及等效重力加速度
(1)L′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长
L′＝
r
＋
L
cos
α
。乙图中小球(可看作质点)在半径为
R
的光滑圆槽中
A
点的附近振动，其等
效摆长为 L′＝
R
。
比较：
图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为
l
·sin
a
，这就是
等效摆长，其周期
T
＝2π。
图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙
在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
(2)
g
′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境
1 / 8
115 单摆及其等效重力加速度问题
有关。
① 在不同星球表面：
g
′＝，
M
为星球的质量，
R
为星球的半径。
② 单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为
g
′＝
g
＋
a
和
g
′＝
g
－
a
，
a
为超
重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。
③ 单摆中的绝缘带电小球在竖直方向的匀强电场中摆动时，等效重力加速度分别为
g
′=(mg±qE)/m
④ 单摆中的绝缘带电小球在水平方向的匀强磁场中摆动时，因回复力不变，等效重力加
速度仍为 g
⑤ 如果悬点有点电荷，单摆中的绝缘带电小球摆动时，因回复力不变，等效重力加速度
仍为 g。
3. 类单摆问题的解题方法
(1)确认符合单摆模型的条件，即：小球沿光滑圆弧运动，小球受场力、轨道支持力，此
支持力类似单摆中的摆线拉力，故此装置可称为“类单摆”。
(2)寻找等效摆长及等效加速度，最后利用单摆周期公式或简谐运动规律分析求解问题。
二.典型例题
题型一：单摆周期公式及影响单摆周期的因素
例1 (2017·上海高考)做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的
倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的( )
A．周期不变，振幅不变 B.周期不变，振幅变小
C．周期改变，振幅不变 D.周期改变，振幅变大
答案：B。
解析：由单摆的周期公式
T
＝2π 可知，单摆摆长不变，则周期不变；振幅
A
是反映单摆
运动过程中的能量大小的物理量，由
E
k＝
mv
2可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，由
mv
2
＝
mgh
可知
h
减小，因此振幅变小，所以 B 正确。
题型二：应用类单摆模型的周期公式
例2.如图所示，固定曲面
AC
是一段半径为 4.0m 的光滑圆弧，圆弧与水平方向相切于
A
点，
AB
＝10cm，现将一小物体先后从圆弧顶端
C
和中点
D
处由静止释放，到达曲面底端时速
度分别为
v
1和
v
2，所需时间为
t
1和
t
2，以下说法正确的是 ( )
A．
v
1>
v
2，
t
1＝
t
2 B．
v
1>
v
2，
t
1>
t
2
C．
v
1<
v
2，
t
1＝
t
2 D．
v
1<
v
2，
t
1>
t
2
答案：A
[解析] 将小物体沿圆弧的运动等效成单摆，其摆长等于圆弧的半径，由
T
＝2π 可知，
从
D
点释放和从
C
点释放到达底端的时间均为四分之一周期，所以时间相等，即
t
1＝
t
2；由机
械能守恒定律可得
mgh
＝
mv
2，可知
v
1>
v
2，故选项 A正确。
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摘要：
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115单摆及其等效重力加速度问题一.必备知识1.对单摆的理解(1)回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。两点说明：①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ。②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。(3)单摆是一个理想化模型，摆角θv2，t1＝t2B．v1>v2，t1>t2C．v1
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