专题07 抛体运动模型（解析版）

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专题 07 抛体运动模型
目录
【平抛运动模型的构建及规律】........................................................................................................................1
【三类常见的斜面平抛模型】............................................................................................................................5
【半圆模型的平抛运动】...................................................................................................................................12
【平抛与圆相切模型】.......................................................................................................................................14
【台阶平抛运动模型】.......................................................................................................................................16
【体育生活中平抛运动的临界模型】..............................................................................................................17
【对着竖直墙壁的平抛模型】..........................................................................................................................20
【斜抛运动模型】...............................................................................................................................................25
【平抛运动模型的构建及规律】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度 。
（2）性质：加速度恒定 ，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以 v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
y=g
2v0
2x2
合速度：大小：
v=
√
vx
2+vy
2
即 ，
方向：v与水平方向夹角为 ，即
a=tan−1(gt
v0
)
合位移：大小：
S=
√
x2+y2
即 ，
方向：S与水平方向夹角为 ，即
θ=tan−1(gt
2v0
)
一个关系：
tan α=2 tan θ
，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相
同，速度的方向要陡一些。如图所示:
3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动
y=1
2gt2
可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或
者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程
y=g
2v0
2x2
可以写出其水平射程
x=v0
√
2y
g
可见，在 g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速
度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
【模型演练 1】.(2020·全国名校 11 月大联考)如图所示，xOy 是平面直角坐标系，Ox 水平、Oy 竖直，一质
点从 O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点．质点在 P点的速度大小为 v，方向沿该点所在轨迹的切
线．M点为 P点在 Ox 轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与 Ox 轴相交于 Q点．已知平抛的初速度为
20 m/s，MP＝20 m，重力加速度 g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．QM 的长度为 10 m
B．质点从 O到P的运动时间为 1 s
C．质点在 P点的速度大小为 40 m/s
D．质点在 P点的速度与水平方向的夹角为 45°
【答案】　D
【解析】　根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有：h＝gt2，可得 t＝2 s；质点在水平方向的位移为：
x＝v0t＝40 m，即 OM＝40 m，根据平抛运动的推论可知 Q是OM 的中点，所以 QM＝20 m，故 A、B错误；
质点在 P点的竖直速度：vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，所以质点在 P点的速度为：v＝＝ m/s＝20 m/s，故 C
错误；因为 tan θ＝＝1，所以质点在 P点的速度与水平方向的夹角为 45°，故 D正确．
【模型演练 2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前
进方向的水平宽度为 3h，其左边缘 a点比右边缘 b点高 0.5h.若摩托车经过 a点时的动能为 E1，它会落到坑
内c点．c与a的水平距离和高度差均为 h；若经过 a点时的动能为 E2，该摩托车恰能越过坑到达 b点.等于
(　　)
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
【答案】　B
【解析】　摩托车从 a点做平抛运动到 c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt12，可解得 v1＝，动能 E1
＝mv12＝；摩托车从 a点做平抛运动到 b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt22，解得 v2＝3，动能
E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正确．
【模型演练 3】(2020·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为 y＝x2，在 y轴上有一
点P，坐标为(0，6 m)。从 P点将一小球水平抛出，初速度为 1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不
计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A.(3 m，3 m) B.(2 m，4 m)
C.(1 m，1 m) D.(1 m，2 m)
【答案】　C
【解析】　设小球经过时间 t打在曲面上 M(x，y)点，则水平方向：x＝v0t，竖直方向上：6－y＝gt2，又因
为y＝x2，可解得 x＝1 m，y＝1 m，故 C正确，A、B、D错误。
【模型演练 4】（2021 届辽宁省营口市高三模拟）如图所示， 轴在水平地面上， 轴在竖直方向，图中
画出了从 轴上不同位置沿 轴正向水平抛出的三个小球 、 和 的运动轨迹。小球 从 抛出，
落在 处；小球 、 均从 抛出，分别落在 和 处。不计空气阻力，下列说法正确的
是（　　）
A． 和 的初速度相同 B． 和 的运动时间相同
C． 的初速度是 的 2倍 D． 的运动时间是 的 2倍
【答案】BC
【解析】BD．a、b和c小球竖直方向下落高度分别为2L、L、L，由
可得它们运动时间分别为 故B正确，D错误；AC．a、b和c小球水平方向位
移分别为2L、2L、L，由 可得它们初速度分别为
故A错误，C正确。故选BC。
【模型演练 5】(2021·云南保山一模)如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运
动轨迹上的两点。小球经过 A点时，速度大小为 10 m/s、与竖直方向夹角为 60°；它运动到 B点时，速度
方向与竖直方向夹角为 30°，不计空气阻力，取重力加速度 g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　)
A．小球通过B点的速度为 12 m/s
B．小球的抛出速度为 5 m/s
C．小球从 A点运动到 B点的时间为 1 s
D．A、B之间的距离为 6 m
【答案】　C
【解析】　由平抛运动规律知 v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得 v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项 A、B错误；
竖直速度 vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得 t＝1 s，选项 C正确；由 v－v＝2gy，x＝v0t，s
＝，解得 s＝5 m，选项 D错误。
【三类常见的斜面平抛模型】
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个 θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相
同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
【构建模型】如图所示，从倾角为 θ的斜面上的 A点以初速度 v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的 B
点，不计空气阻力．
法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为 x轴，垂直于斜面方向为 y轴，建立坐标系，如图(a)所示
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
v0
θ(
)α
)α
摘要：

专题07抛体运动模型目录【平抛运动模型的构建及规律】........................................................................................................................1【三类常见的斜面平抛模型】............................................................................................................................5【半圆模型的平抛运动】.......

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