专题13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型（解析版）

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专题 13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型
目录
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型........................................................1
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型.....................................................................1
2.交变电场中的直线运动..................................................................................................5
3.带电体在电场中的直线运动..........................................................................................7
【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型..................................................................13
【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型......................................................19
【模型四】带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型..............................22
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型
（1） 受力分析：
与力学中受力分析方法相同,只是多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，
则电场力为恒力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
（2） 运动过程分析：
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一直
线上，做匀加（减）速直线运动.
（3） 两种处理方法：
①力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线
运动的公式确定带电粒子的速度、时间和位移等.
②功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为 UAB 的两点时动能的变化是 ，则
.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为 d，接在电压为 U的电源上，质量为 m、
电量为 q的正电荷穿过正极板上的小孔以 v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小
孔穿出.不计重力，求：正电荷穿出时的速度 v是多大？
解法一、动力学：由牛顿第二定律： ①
由运动学知识：v2－v02=2ad ②
联立①②解得：
解法二、动能定理： 解得
讨论：
（1） 若 带 电 粒 子 在 正 极 板 处 v0≠0 ， 由 动 能 定 理 得 qU=mv2-mv02解 得 v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电
量为+q，质量为 m的带电粒子，以初速度 v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀
减速直线运动.
①若v0>，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为 v，
有 -qU=mv2-mv02解得 v=
② 若 v0<，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反
方向加速运动，从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小 v=v0.
设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为 x，由动能定理有： -qEx=0- mv02
又E= (式d中为两极板间距离) 解得 x= .
【模型演练 1】.　如图所示，M、N是在真空中竖直放置的两块平行金属板，板间有匀强
电场，质量为 m、电荷量为－q的带电粒子(不计重力)，以初速度 v0由小孔进入电场，当
M、N间电压为 U时，粒子刚好能到达 N板，如果要使这个带电粒子能到达 M、N两板间
距的处返回，则下述措施能满足要求的是(　　)
A．使初速度减为原来的
B．使 M、N间电压减为原来的
C．使 M、N间电压提高到原来的 4倍
D．使初速度和 M、N间电压都减为原来的
【答案】　D
【解析】　在粒子刚好到达 N板的过程中，由动能定理得－qEd＝0－mv02，所以 d＝.设带
电粒子离开 M板的最远距离为 x，则使初速度减为原来的，x＝，故 A错；使 M、N间电压
减为原来的，电场强度变为原来的，粒子将打到 N板上，故 B错；使 M、N间电压提高到
原来的 4倍，x＝，故 C错；使初速度和 M、N间电压都减为原来的，电场强度变为原来的，
x＝，故 D对．
【模型演练 2】(2020·湖北宜昌市高三 3月线上统一调研测试)如图所示，三块平行放置的
带电金属薄板 A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于 O、M、P点。由 O点静止释放的
电子恰好能运动到 P点。现将 C板向右平移到 P′点，则由 O点静止释放的电子(　　)
A．运动到 P点返回 B．运动到 P和P′点之间返回
C．运动到 P′点返回 D．穿过 P′点
【答案】A　
【解析】根据平行板电容器的电容的决定式 C＝、定义式 C＝和匀强电场的电压与电场强
度的关系式 U＝Ed 可得 E＝，可知将 C板向右平移到 P′点，B、C两板间的电场强度不变，
由O点静止释放的电子仍然可以运动到 P点，并且会原路返回，故选项 A正确。
【模型演练 3】(多选)(2020·山东菏泽市4月一模)如图所示，M、N为两个等大的均匀带电
圆环，其圆心分别为 A、C，带电荷量分别为＋Q、－Q，将它们平行放置，A、C连线垂直
于圆环平面，B为AC 的中点，现有质量为 m、带电荷量为＋q的微粒(重力不计)从左方沿
A、C连线方向射入，到 A点时速度 vA＝1 m/s，到 B点时速度 vB＝ m/s，则(　　)
A．微粒从 B至C做加速运动，且 vC＝3 m/s
B．微粒在整个运动过程中的最终速度为 m/s
C．微粒从 A到C先做加速运动，后做减速运动
D．微粒最终可能返回至B点，其速度大小为 m/s
【答案】AB　
【解析】AC 之间电场是对称的，A到B电场力做的功和 B到C电场力做的功相同，依据动
能定理可得：qUAB＝mv－mv，2qUAB＝mv－mv，解得 vC＝3 m/s，A正确；过 B作垂直AC
的面，此面为等势面，微粒经过 C点之后，会向无穷远处运动，而无穷远处电势为零，故
在B点的动能等于在无穷远处的动能，依据能量守恒可以得到微粒最终的速度应该与在 B
点时相同，均为 m/s，B正确，D错误；在到达 A点之前，微粒做减速运动，而从 A到C
微粒一直做加速运动，C错误。
【模型演练 4】如图所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方
向水平向左．不计空气阻力，则小球(　　)
A．做直线运动 B．做曲线运动
C．速率先减小后增大D．速率先增大后减小
【答案】：BC
【解析】：对小球受力分析，小球受重力、电场力作用，合外力的方向与初速度的方向不
在同一条直线上，故小球做曲线运动，故 A错误，B正确；在运动的过程中合外力方向与
速度方向间的夹角先为钝角后为锐角，故合外力对小球先做负功后做正功，所以速率先减
小后增大，故 C正确，D错误．
【模型演练 5】（2021·江苏省扬州市高三上学期11 月期中）如图所示，电子由静止开始从
A板向 B板运动，到达 B板的速度为 v，保持两板间电压不变，则(　　)
A．当减小两板间的距离时，速度 v增大B．当减小两板间的距离时，速度 v减小
C．当减小两板间的距离时，速度 v不变 D．当减小两板间的距离时，电子在两板间运动的
时间变长
【答案】：C
【解析】：由动能定理得 eU＝mv2，当改变两极板间的距离时，U不变，v就不变，故选项
A、B错误，C正确；粒子在极板间做初速度为零的匀加速直线运动，＝，＝，即t＝，当
d减小时，v不变，电子在两极板间运动的时间变短，故选项 D错误．
2.交变电场中的直线运动
U-
t
图
v-t
图
[
轨
迹
图
【模型演练 1】（2021·广东省湛江市高三上学期11 月调研）如图甲所示，A板电势为 0，A
板中间有一小孔，B板的电势变化情况如图乙所示，一质量为 m、电荷量为 q的带负电粒
子在 t＝时刻以初速度为 0从A板上的小孔处进入两极板间，仅在电场力作用下开始运动，
恰好到达 B板．则(　　)
t
O
v
v0
T/2T
单向直线运动
A
B
速度不反向
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B速度反向
T
T/2
-v0
t
O
v
v0
往返直线运动
AB速度反向
T
T/8
-3v0
5T/8t
O
v
v0
T/32T/3
往返直线运动
A
B速度反向
T
-v0
OABOAB
A
O A B
DC
OAB
A
A．A、B两板间的距离为 B．粒子在两板间的最大速度为
C．粒子在两板间做匀加速直线运动
D．若粒子在 t＝时刻进入两极板间，它将时而向 B板运动，时而向 A板运动，最终打向 B
板
【答案】B.
【解析】：粒子仅在电场力作用下运动，加速度大小不变，方向变化，选项 C错误；粒子
在t＝时刻以初速度为 0进入两极板，先加速后减速，在时刻到达 B板，则·· ＝，解
得d＝，选项 A错误；粒子在时刻速度最大，则 vm＝·＝，选项 B正确；若粒子在 t＝时刻
进入两极板间，在～时间内，粒子做匀加速运动，位移 x＝·＝，所以粒子在时刻之
前已经到达 B板，选项 D错误．
【模型演练 2】(2020·安徽合肥模拟)如图(a)所示，两平行正对的金属板 A、B间加有如图
(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间 P处．若在 t0
时刻释放该粒子，粒子会时而向 A板运动，时而向 B板运动，并最终打在 A板上．则 t0可
能属于的时间段是(　　)
A．0＜t0＜　　B.＜t0＜C.＜t0＜TD．T＜t0＜
【答案】：B
【解析】：设粒子的速度方向、位移方向向右为正．依题意知，粒子的速度方向时而为正，
时而为负，最终打在 A板上时位移为负，速度方向为负．分别作出 t0＝0、、、时粒子运动
的v t图象，如图所示．由于 v t图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象知，
0＜t0＜与＜t0＜T时粒子在一个周期内的总位移大于零，＜t0＜时粒子在一个周期内的总位
移小于零；t0＞T时情况类似．因粒子最终打在 A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移
应小于零，对照各项可知 B正确．
【模型演练 3】(2020·湖北孝感模拟)制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为 d
的两平行极板，如图甲所示．加在极板 A、B间的电压 UAB 做周期性变化，其正向电压为
U0，反向电压为－kU0(k>1)，电压变化的周期为2τ，如图乙所示．在 t＝0时，极板 B附近
的一个电子，质量为 m、电荷量为 e，受电场作用由静止开始运动．若整个运动过程中，
电子未碰到极板 A，且不考虑重力作用．若 k＝，电子在 0～2τ时间内不能到达极板 A，求
d应满足的条件．
【答案】　d＞
【解析】　电子在 0～τ时间内做匀加速运动
加速度的大小 a1＝
位移 x1＝a1τ2
在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动
加速度的大小 a2＝
初速度的大小 v1＝a1τ
匀减速运动阶段的位移 x2＝
由题知 d＞x1＋x2，解得 d＞.
【模型演练 4】(多选)(2021·贵州三校联考)如图所示为匀强电场的电场强度 E随时间 t变化
的图象．当 t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的
作用，则下列说法中正确的是(　　)
A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2 s 末带电粒子回到原出发点
C．3 s 末带电粒子的速度为零 D．0～3 s 内，电场力做的总功为零
【答案】：CD
【解析】：设第 1 s 内粒子的加速度为 a1，第 2 s 内的加速度为 a2，由 a＝可知，a2＝2a1，
可见，粒子第 1 s 内向负方向运动，1.5 s 末粒子的速度为零，然后向正方向运动，至3 s 末
回到原出发点，粒子的速度为 0，v t图象如图所示，由动能定理可知，此过程中电场力做
的总功为零，综上所述，可知 C、D正确．
3.带电体在电场中的直线运动
(1).带电小球在电容器中的直线运动
匀速直线运动 匀加速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动
摘要：

专题13匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型目录【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型........................................................11.带电粒子在电场中的加速直线运动模型.....................................................................12.交变电场中的直线运动..................................................................................................

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