数学参考答案及解析
2025-05-16
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2023 届高三（9月）起点考试
数学参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
B
A
B
A
D
8.
【解析】①计第一步取出两个白球为事件 A，则 P(A)=
，P(X=0|A)=1,P(X=1|A)=P(X=2|A)=0
②计第一步取出两球为一黑一白为事件 B，则 P(B)=
，P(X=0|B)=
，P(X=1|B)=
，P(X=2|B)=0
③计第一步取出两个黑球为事件 C，则 P(C)=
，P(X=0|C)=
，P(X=1|C)=
,P(X=2|C)=
故由全概率公式，P(X=0)=P(A)P(X=0|A)+P(B)P(X=0|B)+P(C)P(X=0|C)=
×1+
×
+
×
=
，
同理 P(X=1)=
，P(X=2)=
∴E(X)=
.
另解：在第一步完成之后，X 服从超几何分布，故 E(X)=P(A)∙2×
＋P(B)∙2×
+P(C)∙2×
=
二、选择题：
题号
9
10
11
12
答案
BC
ACD
BCD
BCD
12.【解析】由导数的几何意义及
)(xf
的对称性，
)(xf
在
x
和
x
处的切线也关于原点对
称，其斜率总相等，故
)()( xgxg
，
)(xg
是偶函数，
)2( xg
对称轴为
2x
，A 错；
由
)(xg
的对称性，
)(xg
在
x
和
x
处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故
)()( xgxg
，
)(xg
为奇函数，又定义域为
R
，
0)0(
g
，B 对；
4)4()4()( xxfxh
，由
)(xf
为奇函数知
xxfxu )()(
为奇函数，图像关于
（0,0）对称，
)(xh
可以看作由
)(xu
按向量
)4,4(
平移而得，故 C 对；
由 C 选项知，当
8
21 xx
时，
8)()( 21 xhxh
，
由等差数列性质
8)()(8 111111 ahahaa ，
，以此类推倒序相加，D 正确。
三、填空题：13.
14.8015.(0, 16.
8 6
16.【解析】：正
ABC
中，
M
为
AC
的中点，则
BM AC
，而
PA
平面
ABC
，
BM
平面
ABC
，即
BM PA
，而
PA AC A
，
,PA AC
平面
PAC
，则
BM
平面
PAC
，
PM
平面
PAC
，有
BM PM
，又
PA AB
，因此，
Rt PBM△
与
Rt PAB
的斜边
PB
中点到点 A，B，M，P的距离相等，即三棱锥
P ABM
外
接球球心为
PB
中点，从而，点 O是三棱锥
P ABM
外接球球心，设球
O
的
半径为
R
，有
2 2
4R a
，
PAM△
的外接圆圆心为
PM
的中点，设为
F
，连
接
OF
，则
OF
平面
PAF
，如图，
则有
3
2
OF a
，即
O
到平面
PAC
的距离为
3
2a
，因此
D
到平面
PAC
距离
的最大值为
2 2
34
4a a
，又
14 2 4
2
PAC
S a a
△
，即有
2 2
1 3
4 4 4 3
3 4
a a a
，
解得
22a
，
2 2
4 6R a
，
6R
，所以球
O
的体积为
3
48 6
3R
.故答案为：
8 6
四、解答题：
17.解：(1)
数列
为等差数列，且
=
…………3分
又时， =2n-1(n
=
………………5分
(2)
=
n
nnb 2)12(
nn
nnnT 2)12(2)32(2321 121
132 2)12(2)32(23212
nn
nnnT
两式相减得
1
13
1143 2)12(
21
)21(2
22)12(2222
n
n
nn
nnnT
112 2)32(62)12(282 nnn nn
，
62)32( 1 n
nnT
…………10 分
18..解：（1）由题意，
3SO
，
3 OBOA
，取
OA
的中点
D
，连接
BDCD,
。
则
SOCD //
，且
2
3
3
2
1
2
1 SOCD
，
SO
平面
AOB
，
CD
平面
AOB
，
CBD
即为直线
BC
与平面
AOB
所成角
4
6
sin BC
CD
，从而
6BC
，由勾股定理得
2
15
BD
在
BOD
中，
222
4
15
4
3
3BDODOB
，所以
OAOB
………3分
SO
平面
AOB
，
OBSO
，
由
OB
SOOB
OAOB
平面
SOA
，所以
SABO
…………6分
（2）以
O
为原点，
OSOAOB ,,
分别为
zyx ,,
轴建立空间直角坐标系
摘要：
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2023届高三（9月）起点考试数学参考答案一、选择题：题号12345678答案DCCBABAD8.【解析】①计第一步取出两个白球为事件A，则P(A)=16，P(X=0|A)=1,P(X=1|A)=P(X=2|A)=0②计第一步取出两球为一黑一白为事件B，则P(B)=23，P(X=0|B)=12，P(X=1|B)=12，P(X=2|B)=0③计第一步取出两个黑球为事件C，则P(C)=16，P(X=0|C)=16，P(X=1|C)=23,P(X=2|C)=16故由全概率公式，P(X=0)=P(A)P(X=0|A)+P(B)P(X=0|B)+P(C)P(X=0|C)=16×1+23×12+16×16...
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