数学理

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数学（理科）评分标准 第 1 页 共 8 页
绵阳市高中 2021 级第三次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．
CBACB DDCBC DA
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．10 14．
6
2
15．
45
16．2
三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．
17．解：（1）由列联表可计算
 
2
2100 24 12 48 16 4.762 3.841
40 60 72 28
K  
 

，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
∴有 95%的把握认为参数调试能够改变产品合格率． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
（2）根据题意，设备更新后的合格概率为 0.8，淘汰品概率为 0.2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
可以认为从生产线中抽出的 6件产品是否合格是相互独立的，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
设X表示这 6件产品中淘汰品的件数，则
(6 0.2)X B ，
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
可得：
6 0 1
6 6
0 1 5
( 1) C 0.8 0.2 C 0.8 0.2p P X  
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
5
0.8 (0.8 1.2) 0.65536   
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18．解：（1）设
{ }
n
a
的公差为 d，则 1，1+d，2+2d成等比数列，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
∴
，解得：d=1 或d=−1，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
而d=−1，不满足
1
a
，
2
a
，
31a
成等比数列，
∴d=1，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
∴数列
{ }
n
a
的通项公式
n
a n
．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
（2）令
1 2 1 1 12 3 1
n
n n nn n
a b a b a b a bD  
  L
，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
∴
1
1 1 2 11 2 13 1 3 1
n
n n n nn n
a b a b a b a b aD b
    L
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
两式相减有：
1 1 11 1
( 2) 3n
n n nn n a b b b bD D  L
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
∴数列
{ }
n
b
的前n+1项和为
2 3n
，即
12 3n
n
T 
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
又
1 1 1 2D a b 
，所以
12b
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
∴
1
1 2 1 2 3n
n n
b b b b
 L
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
∴
1
2 3n
n
T
 
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
数学（理科）评分标准 第 2 页 共 8 页
19．解：（1）过 C作CH⊥
1
BB
交
1
BB
于H，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
∵
C
在平面
1 1
ABB A
内的射影落在棱
1
BB
上，
∴
CH
平面
1 1
ABB A
，又
AB
平面
1 1
ABB A
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
∴
CH AB
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
又
1
AB B C
，且
1
B C CH CI
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
∴
AB
平面
1 1
BCC B
；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
（2）∵
1 1 1 1 1
1
2
ABC A B C ABB A
V S CH
 
，则
3
221
3
CH
 
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
过C作
1
CQ AA
交
1
AA
于
Q
，连结
HQ
，
∵AA1与CC1的距离为
2
则
2CQ
，
又∵
CH
平面
1 1
ABB A
，则
CH HQ
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
在Rt△CHQ 中：
2 2 2 2 1 1HQ CQ CH  
，则
1HQ
，
又
1
AA CH
且
1
AA CQ
，
∴
1
AA
平面
CHQ
∴
1
AA HQ
又由（1）知：
AB
平面
1 1
BCC B
，∴
AB
1
BB
，
∴
1
AB AA
，则四边形 ABHQ 为矩形，
∴
1AB HQ 
，
又四边形 ABB1A1的面积为 3，则 BB1=3，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
分别以
HB HQ HC， ，
为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立如图所示
空间直角坐标系，设
( 0)BH x x 
，
∴
( 0 0)， ，B x
，
( 1 0)A x，，
，
1( 3 0 1)C， ，
，
∵
13 3AC
∴
2 2 2 2
1( 3) 1 1 27AC x  
，
解得
2x
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
∴B(2，0，0)，
1( 1 1 0)A， ，
，
(0 0 1)C， ，
，
∴
1(3 1 0)A B  
uuur
， ，
，
( 2 0 1)BC  
uuur
， ，
，
设平面
1
A BC
的法向量为 n1
( )x y z， ，
，
∴
1 1
1
3 0
2 0
A B n x y
BC n x z
 
 
uuur ur
uuur ur
，令
1x
，则n1
(1 3 2)，，
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
易知平面
1 1
ABB A
的法向量 n2
(0 0 1)， ，
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
∴
1 2
2 14
cos 7
14 1
n n 
，
，
∴平面
1
A BC
与平面
1 1
ABB A
所成锐二面角的余弦值为
14
7
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
摘要：

 182021 !"#$%&'$(12)$*+)$5*(60,CBACBDDCBCDA-!./$%&'$(4)$*+)$5*(20,131014621545162!0$%&'$(6)$*(70,170122100241248164.7623.84140607228K495%!"#$%&'()*+,52-./012345*+6,0.878)6,...

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