矩阵理论赵迪知识总结-简化张量积

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1
矩阵张量积(简介)
矩阵的普通乘积
AB
要求
A
的列数与
B
的行数相等，否则
AB
没有意义. 本讲
义讨论矩阵的另一种乘积
AB
, 它不受行数和列数的限制，这就是矩阵的直积
或张量积. 矩阵的直积在矩阵理论和计算中具有广泛的应用，例如，矩阵张量积
在矩阵方程中的一些应用，在大数据多变量的坐标变换中的应用等.
§1 张量积性质
定义 1 设
()
i j m n
Aa
=
,
( )
ij pq
Bb
=
, 称如下的分块矩阵
为
A
与
B
的直积(张量积或Kronecker 积), 记为
()
ij mp nq
A B a B
=
.
由定义可知,
AB
是一个
mn
块的分块矩阵, 它是一个
mp
行
nq
列的矩
阵.
例如
ab
Acd

=

,
2
3
B
=

, 则
22
33
22
33
ab
aB bB a b
AB cB dB c d
cd




 = =





,
22
2 2 2
3 3 3
33
ab
A c d
BA A a b
cd




 = =





.
由此例可见,
AB
与
BA
有相同的阶数，但一般
A B B A 
, 即矩阵的直积
不满足交换律.
由直积定义易推出
定理 1 (1)两个上三角阵的直积也是上三角阵.
(2)两个对角阵的直积仍是对角阵.
(3)
n m m n m n
I I I I I
=  =
，
,
mn
II
为单位矩阵.
直积具有以下分块运算公式
命题 1 下列分块公式成立：
(1)
, =
A B A F B F A A F
FF
C D C F D F C C F
 
 
 =
 
 
 
，且有
( ) ( )
A B A BF F F = ， ，
.
2
证明 由定义知
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ij ij ij ij
ij ij ij ij
ab a F b F A F B F
F
cd c F d F C F D F
 


 = =







.
同理可知
( ) ( )
A B A BF F F = ， ，
.
备注：一般情况下
1 2 1 2
( , ) ( , )A B B A B A B  
.
反例：设
(1, 2)A=
为行向量（
A
不是列向量！）, 计算可知
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
( , )= 1 2 ( , )= 1( , ) 2( , )
= , 2B , 2 , 2 B , 2
A B B B B B B B B
B B B B B B

， ，
， ，
即
1 2 1 2
( , ) ( , )A B B A B A B  
命题 2 设
为列向量，令
12
( , , , )
q
B
 
=
,则有列分块公式
12
( , , , )
q
B
     
 =
.
证明 取一个列向量
12
( , , , )T
n
a a a
=
，可写
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
1
1
12
( , , )
( , , )
, , , ,
( , , , ).
q
n n n q
q
q
n n q n n
q
a a B a
B
a a B a
a a a a
a a a a





     


 
= = 
 





   



   
= = 



   
   
 

   



= 
推论 1 设
1 2 1
( , , , ) , ( , , )
t n t q p q
AB
 

==
(按列分块), 则
1 1 1 1
( , , , , , )
q t t q np tq
AB
       
 =
.
记为
( )--
ij
AB

 = 全列 按字典次序！
证明 取列向量
12
( , , , )T
n
a a a
=
，由命题 1，2可得
1
1 1 1 1
( , , )
( , , , , , )--
t
q t t q
A B B B

       
 =
=  字典次序！
直积有下列基本性质
3
性质 1
( ) ( ) ( )k A B kA B A kB =  = 
（
k
为常数）.
性质 2 分配律
( )
A B C A C B C+ = + 
，
( )
C A B C A C B + =  +
性质 3 结合律
( ) ( )
A B C A B C  =  
.
证明 设
()
i j m n
Aa
=
，由直积定义
( )
( )
11 1 11 1
11
.
nn
m mn m mn
A B C
a B a B a B C a B C
C
a B a B a B C a B C
A B C

 




=  =




  


= 
性质 4 (吸收律)
( )( )
( ) ( )A B C D AC BD  =
（只要
AC
,
BD
有定义）.
证明 设
()
ij m n
Aa
=
，
( ) , ( ) , ( )
i j p q ij n s ij q t
B b C C D d
 
= = =
由直积定义，
( )( )
( )( )
ij ij
A B C D a B c D  =
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
ns
ns
m m mn n n ns
a B a B a B c D c D c D
a B a B a B c D c D c D
a B a B a B c D c D c D
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
11
( ) ( ) ( ) ( )
nn
ik k j ik k j
kk
a Bc D a c BD AC BD
==
= = = 

.
推论 2 若
mm
AA
=
为
m
阶方阵，
nn
BB
=
为
n
阶方阵，则
(1)
( ) , 1,2, .
k k k
A B A B k =  =
(2)
( )( ) ( )( )
n m m n
A I I B I B A I A B = = 
.
由(2)可知
( )
n
AI
,
( )
m
IB
是可交换方阵.
注 性质 5可以推广为下列一般情形：
(1)
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
)( ) ( k k k k
A B A B A B A A A B B B   =
(2)
( )( )
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )
k k k k
A A A B B B A B A B A B    =
.
证明略.
例1 设
,
m m n n
A A B B

==
，证明
, .
nm
A I I B
AB
nm
e e I e I e

=  = 
4
证明 只需证明第一个公式，利用性质 4可写
11
1
11
( ) ( )
!!
1
( ) .
!
A I k k k
kk
kA
k
e A I A I
kk
A I e I
k

==
=
=  =
=  =

注 由此例与前推论可得公式：
()
nm
A I I B AB
e e e
 + =
.
性质 5 (转置公式)
( )
TTT
A B A B = 
，
( )
HHH
A B A B = 
.
证明 设
()
i j m n
Aa
=
，由直积与转置定义
( )
11 1 11 1
11
TTT
nm
TTT
TT
m mn n mn
a B a B a B a B
A B A B
a B a B a B a B





=  = =







同理可证共轭转置公式
( )
HHH
A B A B = 
.
例如
ab
Acd

=

,
2
3
B
=

, 则
2 3 2 3
2 3 2 3
TT
TT
TT
a a c c
aB cB
AB b b d d
bB dB


 = =




22
3 3 2 3 2 3
( ) .
2 2 2 3 2 3
33
T
T
T T T
ab
aB bB a b a a c c
A B A B
cB dB c d b b d d
cd


 

= = = = 



 


性质 6 设
A
，
B
分别为
m
阶与
n
阶可逆阵，则
AB
可逆，且
( )
111
A B A B
−−−
= 
.
注 由性质 5，6可知，转置和求逆的反序法对直积不再成立，这也是直积与矩
阵乘积的主要区别之一.
证明 由性质 4，
( )
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) m n mn
A B A B AA BB I I I
− − − −
= =  =
.
推论 3 若
A
与
B
是酉矩阵(优阵)，则
AB
是酉矩阵(优阵).
证明 因为
1 1 1
( ) ( ) .
H H H
A B A B A B A B
− − −
= = = 
性质 7 (秩公式)：
( ) ( )( )
rank A B rankA rankB=
，其中
mn
AA
=
,
pq
BB
=
.
证明 设
( ) , ( )rank A r rank B t==
.
A
与
B
的标准形分别为
1
A
，
1
B
, 则
存在可逆阵
, , P, QPQ
（从而
PP
,
QQ
也可逆），使得
11
00
, PBQ
0 0 0 0
rt
m n p q
II
PAQ A B

 
= = = =
 
 
5
11 1
11 11
00
00 00
rr
I B B IB
AB BB



 = =





，
且
1
1
1
r
B
IB
B


=



, 故
( ) ( )( )
11
rank A B rt rankA rankB = =
.
利用
11
( P) ( Q) ( ) (PBQ)P A B Q PAQ A B = = 
得
( ) ( ) ( )( )
11
rank A B rank A B rankA rankB = =
.
推论 4 设
1,,p
XX
是
m
中 p 个线性无关的列向量，
12
, , , q
Y Y Y
是
n
中 q 个无关
列向量, 则, 全体
pq
个向量{
ij
XY
}
( 1,2, , ; j 1,2, , )i p q=  = 
线性无关.
证 令
1 2 1
( , , , ) , ( , , )
p m p q n q
A X X X B Y Y

==
(按列分块)
条件推出
( ) , ( )rank A p rank B q==
. 且
( ) ( )( )
rank A B rankA rankB pq = =
由(分块公式)推论 1得
( )--
ij
A B pq X Y = 共 个列 按字典次序
且
( )
rank A B pq=
，可知
AB
中全体
pq
个列{
ij
XY
}线性无关. 证毕.
性质 8 设
( ) ,
mm
ij n n
A a C B B
=  =
，则
(1)
()tr A B trA trB=
； (2)
( ) ( ) ( )
det det det .
nm
A B A B=
证明 (1) 计算可知
( ) ( )
11 22
11 22
( ) ( )
.
nn
nn
tr A B tr a B tr a B tr a B
a trB a trB a trB trA trB
= + + +
= + + + =
(2) 由许尔(Schur)公式，存在可逆阵
P
使得
1
11
0m
P AP A
−



==



(上三角形)，由性质 4
1
2
11
()
( ) ( ) ( )
0m
BB
B
P I A B P I P AP B
B
−−



= = 



,
摘要：

1矩阵张量积(简介)矩阵的普通乘积要求的列数与的行数相等，否则没有意义.本讲义讨论矩阵的另一种乘积,它不受行数和列数的限制，这就是矩阵的直积或张量积.矩阵的直积在矩阵理论和计算中具有广泛的应用，例如，矩阵张量积在矩阵方程中的一些应用，在大数据多变量的坐标变换中的应用等.§1张量积性质定义1设,,称如下的分块矩阵为与的直积(张量积或Kronecker积),记为.由定义可知,是一个块的分块矩阵,它是一个行列的矩阵.例如,,则,.由此例可见,与有相同的阶数，但一般,即矩阵的直积不满足交换律.由直积定义易推出定理1(1)两个上三角阵的直积也是上三角阵.(2)两个对角阵的直积仍是对角阵.(3)，为单位矩...

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