2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

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2019 年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

1．（2019 重庆 A卷）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E在边 BC 上，连结 AE，EM⊥AE，垂足为

E，交 CD 于点 M，AF⊥BC，垂足为 F，BH⊥AE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P是AD 上一点，连

接CP．

（1）若 DP=2AP=4，CP ，CD=5，求△ACD 的面积．

（2）若 AE=BN，AN=CE，求证：AD CM+2CE．

解：（1）作 CG⊥AD 于G，如图 1所示：

设PG=x，则 DG=4-x，

在Rt△PGC 中，GC2=CP2-PG2=17-x2，

在Rt△DGC 中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，

∴17-x2=9+8x-x2，

解得：x=1，即 PG=1，

∴GC=4，

∵DP=2AP=4，

∴AD=6，

∴S△ACD AD×CG 6×4=12．

（2）证明：连接 NE，如图 2所示：

∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，

∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，

∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，

在△NBF 和△EAF 中，，

∴△NBF≌△EAF，

∴BF=AF，NF=EF，

∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，

∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，

在△ANE 和△ECM 中，，

∴△ANE≌△ECM，

∴CM=NE，

又∵NF NE MC，

∴AF MC+EC，

∴AD MC+2EC．

2．（2019 广州）如图，等边△ABC 中，AB=6，点 D在BC 上，BD=4，点 E为边 AC 上一动点（不

与点 C重合），△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△FDE．

（1）当点 F在AC 上时，求证：DF∥AB；

（2）设△ACD 的面积为 S1，△ABF 的面积为 S2，记 S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出 S的

最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当 B，F，E三点共线时．求 AE 的长．

解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

由折叠可知：DF=DC，且点 F在AC 上，

∴∠DFC=∠C=60°，

∴∠DFC=∠A，

∴DF∥AB．

（2）存在，

如图，过点 D作DM⊥AB 交AB 于点 M，

∵AB=BC=6，BD=4，

∴CD=2

∴DF=2，

∴点F在以 D为圆心，DF 为半径的圆上，

∴当点 F在DM 上时，S△ABF 最小，

∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，

∴MD=2 ，

∴S△ABF 的最小值 6×（2 2）=6 6，

∴S最大值 2×3 （6 6）=-3 6．

（3）如图，过点 D作DG⊥EF 于点 G，过点 E作EH⊥CD 于点 H，

∵△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△FDE，

∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，

∵GD⊥EF，∠EFD=60°，

∴FG=1，DG FG ，

∵BD2=BG2+DG2，

∴16=3+（BF+1）2，

∴BF 1，

∴BG ，

∵EH⊥BC，∠C=60°，

∴CH ，EH HC EC，

∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，

∴△BGD∽△BHE，

∴，

∴EC 1，

∴AE=AC-EC=7 ．

3．（ 2019 安徽）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，AC=BC ，P为 △ ABC 内部一点，且

∠APB=∠BPC=135°．

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摘要：

2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE．解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，∴17-x2=9+8x-...

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