湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

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衡阳县一中 2025 届高三上学期第一次模拟考试卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1．已知集合
A=¿
，则
(
∁RB
)
∩ A=¿
（）
A．
[
1,2
)
B．
(
1,2
)
C．
(
2,3
)
D．
[
2,3
]
2．已知
z=2
(
1−i
)
1+i, z
是
的共轭复数，则
z=¿
（）
A．0 B．
2 i
C．2 D．
−2
3．“
a=3
”是“直线
y=x+4
与圆
(
x − a
)
2+
(
y −3
)
2=8
相切”的（
　　
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示，在边长为 3的等边三角形
ABC
中，
⃗
AD=2
3
⃗
AC
，且点
P
在以
AD
的
中点
O
为圆心，
OA
为半径的半圆上，若
⃗
BP=x
⃗
BA+y
⃗
BC
，则下列说法错误的是
（）
A．
⃗
BD=1
3
⃗
BA+2
3
⃗
BC
B．
BD
→
⋅BO
→
=13
2
C．
⃗
BP⋅
⃗
BC
存在最大值为 9 D．
x+y
的最大值为
1+
√
3
9
5．已知点
P
为椭圆
C:x2
16 +y2
12 =1
上任意一点，直线
l
过
⊙M:x2+y2−4x+3=0
的
圆心且与
⊙M
交于
A , B
两点，则
⃗
PA ⋅
⃗
PB
的取值范围是（）
A．
[
3,35
]
B．
[
2,34
]
C．
[
2,36
]
D．
[
4,36
]
6．有一袋子中装有大小、质地相同的白球 k个，黑球
2024 − k
(
k∈N*
)
.甲、乙两
人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者
本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第
n
局
甲获胜的概率为
pn
，则关于以下两个命题判断正确的是（）
①
p1=2024
4048 − k
，且
pn+1=
(
1−2p1
)
pn+p1
；
② 若第七局甲获胜的概率不小于 0.9，则
k
不小于 1992.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所
示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥
A − BCD
，该三棱
锥为鳖臑，
O1
，
O2
为半圆柱的圆心，半径为 2，
BD=4
，
∠A O2C=60∘
，动点
Q
在
△ACD
内运动（含边界），且满足
BQ=
√
10
，则点
Q
的轨迹长度为（）
A．
√
2 π
B．
√
3 π
C．
2
√
2 π
D．
2
√
3 π
8．已知函数
f(x)=e2x+a−1
2ln( x+5¿+a
2−5
有零点，那么实数
a
的最大值为
（）
A．
1
2
B．1 C．
1+ln 2
D．
9−ln 2
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分）
9．抛物线 C：
y2=4x
的准线为
l
，过焦点 F的直线与 C交于 A，B两点，分别过
A，B作
l
的垂线，垂足分别为
A'
，
B'
，记
△A A'F
，
△A'B'F
，
△B B'F
的面积分
别为
S1
，
S2
，
S3
，则（）
A．
△A'B'F
为锐角三角形 B．
S2
的最小值为 4
C．
S1
，
1
2S2
，
S3
成等差数列 D．
S1
，
1
2S2
，
S3
成等比数列
10．如图，在三棱锥
A − BCD
中，
AB、BD 、BC
两两垂直，
E
为
AC
上一点，
DE⊥AC
，
M、N
分别在直线
AB、DE
上，
AB=2BC=2BD =2
，则：（）.
A．
AC ⊥BE
B．
DE=3
5
C．若平面
α/¿AD
且
A、B、C、D
到
α
距离相等，则直线
DE
与
α
的夹角正弦值
为
8
15
D．
MN
的最小值为
4
√
41
41
11．在平面直角坐标系
xOy
中有一点
A
，
A
到定点
(
1,1
)
与
y
轴距离之积为一常数
a
，
A
点构成的集合为曲线
C
，已知
C
在
x>0
或
x<0
分别为连续不断的曲线，则下列
说法正确的是：（）.

A．曲线
C
关于直线
y=−1
对称
B．若
a=2
，则
x>0
时
A
到
y
轴距离的最大值为
2
C．若
x>0
，
C
如图，则
a=1
4
D．若
C
与
x
轴正半轴交于
(
1,0
)
，则与
x
轴负半轴的交点横坐标在区间
(
−1,0
)
内
第Ⅱ卷（非选择题）
湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）.docx

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