安徽省淮南市、淮北市2025届高三上学期第一次质量检测数学+答案

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安徽省淮南市和淮北市 2025 届高三上学期第一次质量检测
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
A={x∨(x+1)(x − 2)<0}
，
B={x∨0<x<3}
，则
A ∩ B=¿
A.
(0,2)
B.
(−1,3)
C.
(0,1)
D.
(−2,3)
2.已知复数
，则 z的实部为
A.
−1
B. 0 C. 1 D. 2
3.“
a=2
”是“直线
x+ay −1=0
与直线
4x − ay+1=0
垂直”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大
量信息．“环权”类似于砝码
¿
如下图
¿
，用于测量物体质量．已知九枚环权的质量
¿
单位：铢
¿
从小到大构
成项数为 9的数列
{an}
，该数列的前 3项成等差数列，后 7项成等比数列，且
a2=2
，
a4=6
，
a9=192
，则
{an}
的前 8项和为
A. 194 B. 193 C. 192 D. 191
5.下列各式的值为
1
2
的是
A.
sin 15∘cos 15∘
B.
cos215∘−sin215∘
C.
tan22.5 ∘
1− tan222.5∘
D.
1−2 sin222.5∘
6.已知正三角形的三个顶点坐标分别为
(1,1)
，
(2,2)
，
(m , n)
，若
m>1
，则
n=¿
第1页，共1页
*
A.
√
2
2
B.
√
3
2
C.
3−
√
2
2
D.
3−
√
3
2
7.定义在
[0,2]
上的函数
f(x)=xm¿
的图象如图所示，则实数对
(m , n)
可以是
A.
(1,2)
B.
(1,3)
C.
(2,2)
D.
(2,1)
8.已知点
A(2,0)
，
B(4,0)
，P是直线
y=x
上的动点，B在直线 AP 上的投影为 Q，则
¿PQ
⃗
∨⋅∨PA
⃗
∨¿
的最
小值为
A. 3 B.
7
2
C. 4 D.
9
2
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，
部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.如图，在正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，M，N，P是对应棱的中点，则
A. 直线
A1C/¿
平面 PMN B. 直线
B D1⊥
平面 PMN
C. 直线
A D1
与MN 的夹角为
60∘
D. 平面 PMN 与平面
A1B1C1
的交线平行于 MN
10.已知函数
f(x)=
{
1− ex,∧x ≤ 0,
f(x − 1),∧x>0,
则下列说法正确的是
A. 函数
f(x)
的图象是连续不断的曲线
B.
f(ln 4 )=1−4
e2
第2页，共1页
*
C.
f(ln 6)<f
(
−1
2
)
D. 若方程
f(x)=kx
有三个不同的根，则 k的取值范围是
[
1
2−1
2e,1−1
e
]
11.如图，点
P(a ,b)
是以
(1,0)
，
(0,1)
，
(−1,0)
，
(0, −1)
为顶点的正方形边上的动点，角
θ
以Ox 为始边，
OP 为终边，定义
S(θ)= b
¿a∨+¿b∨¿¿
，
C(θ)= a
¿a∨+¿b∨¿.¿
则
A.
S
(
π
4
)
=1
2
，
C(π)=1
B.
S
(
θ+π
2
)
=C(θ)
C. 函数
y=S(x)
，
x∈
[
0,π
2
]
的图象关于点
(
π
4,1
2
)
对称
D. 函数
y=S(x)
，
x∈[0,2 π]
的图象与 x轴围成封闭图形的面积为
π
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.已知
f(x)
为奇函数，当
x>0
时
f(x)=log2x
，则
f(−8)=¿
________.
13.若 a，
b>0
，且
ab=2a+b+16
，则 ab 的最小值为 .
第3页，共1页
*
14.如图，点 M，N分别是正四棱锥
P − ABCD
的棱 PA，PC 的中点，设
PD ∩
平面
BMN=Q
，则 PQ 与
PD 长度之比为 ，四棱锥
P − ABCD
被平面 BMN 分成上下两部分体积之比为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题 12 分
¿
记
△ABC
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
tan B=2cos A
，
b2+c2−a2=
√
3bc .
¿
Ⅰ
¿
求B；
¿
Ⅱ
¿
若D为AB 边上任意一点，作
AE⊥CD
于E，设
∠BCD=θ
，试用
θ
表示
AE
CD
，并求
AE
CD
的最大值．
16.
¿
本小题 12 分
¿
如图，四棱锥
P − ABCD
中，底面 ABCD 为正方形，平面
PAD ⊥
平面 ABCD，且
PA=PD=
√
2AD
，点 M
在线段 PD 上，
PM =3MD .
¿
Ⅰ
¿
求证：
AM ⊥
平面 PCD；
¿
Ⅱ
¿
求平面 MAC 与平面 PAB 夹角的余弦值．
17.
¿
本小题 12 分
¿
在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：
¿
R
¿
，点
P(0, −3).
¿
Ⅰ
¿
若圆心 C在直线
x+y − 3=0
上，过点 P作圆 C的切线，求切线方程；
¿
Ⅱ
¿
若圆 C上存在点 Q，使
¿PQ∨¿2∨OQ∨¿
，求 a的取值范围．
18.
¿
本小题 12 分
¿
已知函数
f(x)=(x+1)ln (x+1).
第4页，共1页
*
¿
Ⅰ
¿
求证：当
x>0
时，
f(x)< x2
2+x
；
¿
Ⅱ
¿
若
x>0
时，
f(x)>ax
恒成立，求实数 a的取值范围；
¿
Ⅲ
¿
求证：对任意
n∈
N
❑∗
，
e
1
2<
(
1+1
n2
)(
1+2
n2
)
…
(
1+n
n2
)
<e
3
4.
19.
¿
本小题 12 分
¿
已知无穷数列
{an}
满足：
an=¿an+1− an+2∨¿
，
n∈
N
❑∗.
¿
Ⅰ
¿
若
a1=1
，
a3=2
，试写出
a4
的所有可能值；
¿
Ⅱ
¿
若
a1=a2=1
，
an+1≥ an
，记
bn=anan+2− an+1
2
，求
{bn}
的前 2025 项之积；
¿
Ⅲ
¿
若数列
{an}
存在最大项，证明：存在
m∈
N
❑∗
，使得
am=0.
第5页，共1页
*
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