湖南省衡阳市2019年中考数学真题试题（含解析）

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2019 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 3 分,满分 36 分在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.)
1．（3 分）﹣ 的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3 分）如果分式 在实数范围内有意义，则
x
的取值范围是（　　）
A．
x
≠﹣1 B．
x
＞﹣1 C．全体实数 D．
x
＝﹣1
3．（3 分）2018 年 6 月 14 日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获
控制，进入环绕距月球 65000 公里的地月拉格朗日
L
2 点
Halo
使命轨道，成为世界首颗
运行在地月
L
2 点
Halo
轨道的卫星，用科学记数法表示 65000 公里为（　　）公里．
A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×105
4．（3 分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3 分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．8
a
﹣3
b
＝5
ab
B．（
a
2）3＝
a
5C．
a
8÷
a
4＝
a
2D．
a
2•
a
＝
a
3
6．（3 分）如图，已知
AB
∥
CD
，
AF
交
CD
于点
E
，且
BE
⊥
AF
，∠
BED
＝40°，则∠
A
的度数
是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．90°
7．（3 分）某校 5 名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是
86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（　　）
1
A．97 B．90 C．95 D．88
8．（3 分）下列命题是假命题的是（　　）
A．
n
边形（
n
≥3）的外角和是 360°
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
9．（3 分）不等式组 的整数解是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
10．（3 分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区
2016 年底有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人．
设 2016 年底至 2018 年底该地区贫困人口的年平均下降率为
x
，根据题意列方程得（
）
A．9（1﹣2
x
）＝1 B．9（1﹣
x
）2＝1 C．9（1+2
x
）＝1 D．9（1+
x
）2＝1
11．（3 分）如图，一次函数
y
1＝
kx
+
b
（
k
≠0）的图象与反比例函数
y
2＝ （
m
为常数且
m
≠0）的图象都经过
A
（﹣1，2），
B
（2，﹣1），结合图象，则不等式
kx
+
b
＞ 的
解集是（　　）
A．
x
＜﹣1 B．﹣1＜
x
＜0
C．
x
＜﹣1 或0＜
x
＜2 D．﹣1＜
x
＜0或
x
＞2
12．（3 分）如图，在直角三角形
ABC
中，∠
C
＝90°，
AC
＝
BC
，
E
是
AB
的中点，过点
E
作
AC
和
BC
的垂线，垂足分别为点
D
和点
F
，四边形
CDEF
沿着
CA
方向匀速运动，点
C
与点
A
重合时停止运动，设运动时间为
t
，运动过程中四边形
CDEF
与△
ABC
的重叠部分面积
为
S
．则
S
关于
t
的函数图象大致为（　　）
2
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分.)
13．（3 分）因式分解：2
a
2﹣8＝　 　．
14．（3 分）在一个不透明布袋里装有 3 个白球、2 个红球和
a
个黄球，这些球除颜色不同
其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出 1 个球，该球是黄球的概率为 ，则
a
等于
．
15．（3 分） ﹣ ＝　 　．
16．（3 分）计算： +＝　 　．
17．（3 分）已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是　 　．
18．（3 分）在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
x
2的图象如图所示．已知
A
点坐标为
（1，1），过点
A
作
AA
1∥
x
轴交抛物线于点
A
1，过点
A
1作
A
1
A
2∥
OA
交抛物线于点
A
2，
过点
A
2作
A
2
A
3∥
x
轴交抛物线于点
A
3，过点
A
3作
A
3
A
4∥
OA
交抛物线于点
A
4……，依次进
行下去，则点
A
2019 的坐标为　 　．
3
三、解答题（本大题共 8 个小题，19-20 题每题 6 分，21-24 题每题 8 分，25 题 10 分，26 题
12 分，满分 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19．（6 分）（ ）﹣3+| ﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0
20．（6 分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解
决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有 1000 名学生，请你估计该校报
D
的学生约有多少人？
21．（8 分）关于
x
的一元二次方程
x
2﹣3
x
+
k
＝0 有实数根．
（1）求
k
的取值范围；
（2）如果
k
是符合条件的最大整数，且一元二次方程（
m
﹣1）
x
2+
x
+
m
﹣3＝0 与方程
x
2
﹣3
x
+
k
＝0 有一个相同的根，求此时
m
的值．
22．（8 分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面
D
处测
得楼房顶部
A
的仰角为 30°，沿坡面向下走到坡脚
C
处，然后向楼房方向继续行走 10
米到达
E
处，测得楼房顶部
A
的仰角为 60°．已知坡面
CD
＝10 米，山坡的坡度
i
＝1：
（坡度
i
是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房
AB
高度．（结果精确到
4
0.1 米）（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）
23．（8 分）如图，点
A
、
B
、
C
在半径为 8 的⊙
O
上，过点
B
作
BD
∥
AC
，交
OA
延长线于点
D
．连接
BC
，且∠
BCA
＝∠
OAC
＝30°．
（1）求证：
BD
是⊙
O
的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（8 分）某商店购进
A
、
B
两种商品，购买 1 个
A
商品比购买 1 个
B
商品多花10 元，并
且花费 300 元购买
A
商品和花费 100 元购买
B
商品的数量相等．
（1）求购买一个
A
商品和一个
B
商品各需要多少元；
（2）商店准备购买
A
、
B
两种商品共 80 个，若
A
商品的数量不少于
B
商品数量的 4 倍，
并且购买
A
、
B
商品的总费用不低于 1000 元且不高于 1050 元，那么商店有哪几种购买方
案？
25 ． （ 10 分 ） 如 图 ， 二 次 函 数
y
＝
x
2+
bx
+
c
的 图 象 与
x
轴 交 于 点
A
（ ﹣ 1 ， 0 ） 和 点
B
（3，0），与
y
轴交于点
N
，以
AB
为边在
x
轴上方作正方形
ABCD
，点
P
是
x
轴上一动
点，连接
CP
，过点
P
作
CP
的垂线与
y
轴交于点
E
．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点
P
在线段
OB
（点
P
不与
O
、
B
重合）上运动至何处时，线段
OE
的长有最大值？
并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点
M
，连接
MN
、
MB
．请问：△
MBN
的面积是否存在最
大值？若存在，求出此时点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
5
摘要：

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）﹣的绝对值是（　　）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣13．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（　　）公里．A．0.65×105B．65×103C．6....

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