湖南省株洲市2019年中考数学真题试题（含解析）

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2019 年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）﹣3 的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3 分） × ＝（　　）
A．4 B．4 C． D．2
3．（3 分）下列各式中，与 3
x
2
y
3是同类项的是（　　）
A．2
x
5B．3
x
3
y
2C．﹣
x
2
y
3D．﹣
y
5
4．（3 分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　）
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．（3 分）关于
x
的分式方程﹣＝0 的解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
6．（3 分）在平面直角坐标系中，点
A
（2，﹣3）位于哪个象限？（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3 分）若一组数据
x
，3，1，6，3 的中位数和平均数相等，则
x
的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3 分）下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A．
x
2﹣1＝（
x
﹣1）2B．
a
3﹣2
a
2+
a
＝
a
2（
a
﹣2）
C．﹣2
y
2+4
y
＝﹣2
y
（
y
+2） D．
m
2
n
﹣2
mn
+
n
＝
n
（
m
﹣1）2
9．（3 分）如图所示，在直角平面坐标系
Oxy
中，点
A
、
B
、
C
为反比例函数
y
＝（
k
＞0）上
不同的三点，连接
OA
、
OB
、
OC
，过点
A
作
AD
⊥
y
轴于点
D
，过点
B
、
C
分别作
BE
，
CF
垂直
x
轴于点
E
、
F
，
OC
与
BE
相交于点
M
，记△
AOD
、△
BOM
、四边形
CMEF
的面积分别为
S
1、
S
2、
S
3，则（　　）
1
A．
S
1＝
S
2+
S
3B．
S
2＝
S
3C．
S
3＞
S
2＞
S
1D．
S
1
S
2＜
S
32
10．（3 分）从﹣1，1，2，4 四个数中任取两个不同的数（记作
ak
，
bk
）构成一个数组
MK
＝{
ak
，
bk
}（其中
k
＝1，2…
S
，且将{
ak
，
bk
}与{
bk
，
ak
}视为同一个数组），若满足：对
于任意的
Mi
＝{
ai
，
bi
}和
Mj
＝{
ai
，
bj
}（
i
≠
j
，1≤
i
≤
S
，1≤
j
≤
S
）都有
ai
+
bi
≠
aj
+
bj
，
则
S
的最大值（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．（3 分）若二次函数
y
＝
ax
2+
bx
的图象开口向下，则
a
　 　0（填“＝”或“＞”或
“＜”）．
12．（3 分）若一个盒子中有 6 个白球，4 个黑球，2 个红球，且各球的大小与质地都相同，
现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是　 　．
13．（3 分）如图所示，在 Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
CM
是斜边
AB
上的中线，
E
、
F
分别为
MB
、
BC
的中点，若
EF
＝1，则
AB
＝　 　．
14．（3 分）若
a
为有理数，且 2﹣
a
的值大于 1，则
a
的取值范围为　 　．
15．（3 分）如图所示，过正五边形
ABCDE
的顶点
B
作一条射线与其内角∠
EAB
的角平分线
相交于点
P
，且∠
ABP
＝60°，则∠
APB
＝　 　度．
16．（3 分）如图所示，
AB
为⊙
O
的直径，点
C
在⊙
O
上，且
OC
⊥
AB
，过点
C
的弦
CD
与线
段
OB
相交于点
E
，满足∠
AEC
＝65°，连接
AD
，则∠
BAD
＝　 　度．
2
17．（3 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有
善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步
及之？“其意思为：速度快的人走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走
100 步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走　 　步才能追到速度慢的人．
18．（3 分）如图所示，在平面直角坐标系
xOy
中，在直线
x
＝1 处放置反光镜Ⅰ，在
y
轴
处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段
AB
，其中点
A
（0，1），点
B
在点
A
上方，且
AB
＝1，在直线
x
＝﹣1 处放置一个挡板Ⅲ，从点
O
发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过
缺口
AB
照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为　 　．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
19．（6 分）计算：|﹣|+π0﹣2cos30°．
20．（6 分）先化简，再求值： ﹣，其中
a
＝．
21．（8 分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，
此时在眼睛点
A
处测得汽车前端
F
的俯角为 α，且 tanα＝，若直线
AF
与地面
l
1相交于
点
B
，点
A
到地面
l
1的垂线段
AC
的长度为 1.6米，假设眼睛
A
处的水平线
l
2与地面
l
1平
3
行．
（1）求
BC
的长度；
（2）假如障碍物上的点
M
正好位于线段
BC
的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且
线段
MN
为此长方形前端的边），
MN
⊥
l
1，若小强的爸爸将汽车沿直线
l
1后退 0.6米，通
过汽车的前端
F
1点恰好看见障碍物的顶部
N
点（点
D
为点
A
的对应点，点
F
1为点
F
的对
应点），求障碍物的高度．
22．（8 分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的
最高气温
T
有关，现将去年六月份（按30 天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温
T
（单位：℃）需求量（单位：杯）
T
＜25 200
25≤
T
＜30 250
T
≥30 400
（1）求去年六月份最高气温不低于 30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份
这种鲜奶一天的需求量不超过 200 杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为 350 杯，每杯的进价为 4 元，售价为 8 元，未售出
的这种鲜奶厂家以 1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月
份某天的最高气温
T
满足 25≤
T
＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得
的利润为多少元？
4
23．（8 分）如图所示，已知正方形
OEFG
的顶点
O
为正方形
ABCD
对角线
AC
、
BD
的交点，连
接
CE
、
DG
．
（1）求证：△
DOG
≌△
COE
；
（2）若
DG
⊥
BD
，正方形
ABCD
的边长为 2，线段
AD
与线段
OG
相交于点
M
，
AM
＝，求正
方形
OEFG
的边长．
24．（8 分）如图所示，在平面直角坐标系
Oxy
中，等腰△
OAB
的边
OB
与反比例函数
y
＝
（
m
＞0）的图象相交于点
C
，其中
OB
＝
AB
，点
A
在
x
轴的正半轴上，点
B
的坐标为
（2，4），过点
C
作
CH
⊥
x
轴于点
H
．
（1）已知一次函数的图象过点
O
，
B
，求该一次函数的表达式；
（2）若点
P
是线段
AB
上的一点，满足
OC
＝
AP
，过点
P
作
PQ
⊥
x
轴于点
Q
，连结
OP
，
记△
OPQ
的面积为
S
△
OPQ
，设
AQ
＝
t
，
T
＝
OH
2﹣
S
△
OPQ
① 用
t
表示
T
（不需要写出
t
的取值范围）；
② 当
T
取最小值时，求
m
的值．
5
摘要：

2019年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣3的倒数是（　　）A．﹣B．C．﹣3D．32．（3分）×＝（　　）A．4B．4C．D．23．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y54．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　）A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形5．（3分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（　　）A．﹣3B．﹣2C．2D．36．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于哪个象限...

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