重难点03 相似三角形（解析版）
2025-05-14
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重难点 03 相似三角形
考点一：比例
学习比例、比例线段的性质等知识是学习三角形相似的基础，数学中考中很多省市也会把这个考
点单独出题考察，特别是黄金分割和平行线分线段成比例的基本性质，都是经常出现的小题，但这类
题一般难度不大，掌握好易错点，再仔细计算即可！
题型 01 比例与比例线段
易错点：4个数成比例时， 对应数据可正可负；线段成比例时，对应数据只能是正数，特别是比例中项的
计算中，更要注意线段正负的问题；
【中考真题练】
1．若 ＝ ，则 ab＝（ ）
A．6 B．C．1 D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ab＝6．
故选：A．
2．（2023•甘孜州）若 ，则 ＝ 1 ．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：∵ ，
∴＝ ﹣1＝2 1﹣＝1．
故答案为：1．
3．小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请
在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【分析】由 ＝2，得到 a＝2c，因此 ＝ ，得到 b＝c，故 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ．
【解答】解：当 ＝2时， ＝ ＝ ，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝ ，
∴b＝c，
∴＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴＝ ＝ ．
故答案为：2．
【中考模拟练】
1．（2024•凉州区一模）下列各组数中，成比例的是（ ）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8
C．5，6，2，3 D．，，1，
【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得 1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故 A不符合题意．
B．由 4×2≠1×（﹣8），得 1，4，2，﹣8不成比例，故 B不符合题意．
C．由 6×2≠5×3，得 5，6，2，3不成比例，故 C不符合题意．
D．由 ，得 ， ，1， 成比例，故 D符合题意．
故选：D．
2．（2024•汝南县一模）如果 2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵2a＝5b，
∴＝ ， ＝ ．
故选：C．
3．（2023•望江县模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等
进行判断．
【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故 A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故 B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故 C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故 D选项不符合题意．
故选：C．
4．（2024•凉州区一模）已知 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】根据比例的性质，可得 a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得 b＝a．
＝ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
5．（2024•锦江区校级模拟） ＝ ．
【分析】依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴由等比性质可得 ＝ ，
故答案为： ．
6．（2024•山阳县一模）如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，AC，BC，AB 各部分长度满足 BC2＝
AC•AB，若小提琴的总长度 AB 为59cm，则琴身 BC 的长为 cm．
【分析】把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC（AC＞BC），且使 AC 是AB 和BC 的比例中项（即 AB：AC
＝AC：BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C叫做线段 AB 的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计
算即可．
【解答】解：∵BC2＝AC•AB，
∴，
∴BC＝×59＝ ．
故答案为： ．
题型 02 黄金分割
易错点：一个线段的黄金分割点有 2个，黄金分割比=
√
5−1
2
，0.618 是黄金分割比的近似值。题目中没
有要求时，一般都要用原值；
【中考真题练】
1．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫
黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 ABCD 的底边 BC 取中点 E，以 E为圆心，线段 DE 为半径作
圆，其与底边 BC 的延长线交于点 F，这样就把正方形 ABCD 延伸为矩形 ABFG，称其为黄金矩形．若
CF＝4a，则 AB＝（ ）
A．（ ﹣1）aB．（ ﹣2）aC．（ +1）aD．（ +2）a
【分析】设 AB＝x，根据正方形的性质可得 AB＝BC＝x，然后根据黄金矩形的定义可得 ＝ ，
从而可得 ＝ ，最后进行计算即可解答．
【解答】解：设 AB＝x，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形 ABFG 是黄金矩形，
∴＝ ，
∴＝ ，
解得：x＝（2+2 ）a，
经检验：x＝（2+2 ）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2 ）a，
故选：D．
2．（2023•济南）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点 C为圆心，以 BC 为半径作弧交 AC 于
点D，再分别以 B，D为圆心，以大于 BD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线 CP 交AB 于点
E，连接 DE．以下结论不正确的是（ ）
摘要：
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重难点03相似三角形考点一：比例学习比例、比例线段的性质等知识是学习三角形相似的基础，数学中考中很多省市也会把这个考点单独出题考察，特别是黄金分割和平行线分线段成比例的基本性质，都是经常出现的小题，但这类题一般难度不大，掌握好易错点，再仔细计算即可！题型01比例与比例线段易错点：4个数成比例时，对应数据可正可负；线段成比例时，对应数据只能是正数，特别是比例中项的计算中，更要注意线段正负的问题；【中考真题练】1．若＝，则ab＝（ ）A．6B．C．1D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．2．（2023•甘孜州）若，则＝ 1 ．【...
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