重难点07 圆中的计算及其综合（解析版）

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重难点 07 圆中的计算及其综合
考点一：圆中的角度计算
圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题
型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！
题型 01 圆中常见的角度计算
易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的
话，对应结论是不正确的。
解题大招 01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是 90 度
圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度
问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角
=90°的固定关系
解题大招 01：圆中求角度常用的其他规律：
圆内接四边形的一个外角=其内对角
折叠弧过圆心→必有 30°角
以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点
圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）
【中考真题练】
1．（2023•河南）如图，点 A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB 的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
2．（2023•吉林）如图，AB，AC 是⊙O的弦，OB，OC 是⊙O的半径，点 P为OB 上任意一点（点 P不与
点B重合），连接 CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC 的度数可能是（　　）
A．70° B．105° C．125° D．155°
【分析】利用圆周角定理求得∠BOC 的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC 的范
围，继而得出答案．
【解答】解：如图，连接 BC，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ ＝20°，
∵点P为OB 上任意一点（点 P不与点 B重合），
0°∴＜∠OCP＜20°，
∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，
140°∴＜∠BPC＜160°，
故选：D．
3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦 AB，CD 相交于点 P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为
（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80° 48°﹣＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
4．（2023•眉山）如图，AB 切⊙O于点 B，连结 OA 交⊙O于点 C，BD∥OA 交⊙O于点 D，连结 CD，若
∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接 OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角
定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解答】解：连接 OB，
∵AB 切⊙O于B，
∴半径 OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
5．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ACB＝70°，△ABC 的内切圆⊙O与AB，BC 分别相切于点
D，E，连接 DE，AO 的延长线交 DE 于点 F，则∠AFD＝　 35° 　 ．
【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB 的度数和∠OGF 的度数，然后即可计算
出∠AFD 的度数．
【解答】解：连接 OD，OE，OB，OB 交ED 于点 G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵点O为△ABC 的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB 垂直平分 DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125° 90°﹣＝35°，
故答案为：35°．
【中考模拟练】
1．（2024•连云区一模）如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，点 P是劣弧 上一点（点 P不与点 C重
合），则∠CPD＝（　　）
A．45° B．36° C．35° D．30°
【分析】连接 OC，OD．求出∠COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 OC，OD，
∵ABCDE 是正五边形，
∴∠COD＝ ＝72°，
∴∠CPD＝ ∠COD＝36°，
故选：B．
2．（2024•岱岳区一模）如图，AB 是⊙O的直径，点 D是 的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD 的度数是（
）
A．40° B．25° C．40°．D．30°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而可得∠ABC＝50°，再根据已知易得：
＝ ，从而可得∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC＝25°，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝
∠ABD＝25°，即可解答．
【解答】解：∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
摘要：

重难点07圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=...

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