重难点08 解直角三角形及其应用（解析版）

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重难点 08 解直角三角形及其应用
考点一：特殊角的三角函数值及其运算
锐角三角函数的定义和运算是中考数学中的必考考点，单独考察时虽然难度不大，但是也需要熟记对
应考点。其中特殊角的三角函数值是必须记住的。
题型 01 锐角三角函数的定义
易错点：解直角三角形相关：
在Rt△ABC 中，
∠C=90°AB=c，B
C=a，AC=b
三边关系：
a2+b2=c2
两锐角关系：
∠A＋∠B=90 °
边与角关系：
sin A=cos B=a
c
，
cos A=sin B=b
c
，
t anA=a
b
，
t anB=b
a
锐角 α是a、b的夹
角面积：
S=1
2
ab sin α
【中考真题练】
1．（2023•攀枝花）△ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c．已知 a＝6，b＝8，c＝10，则
cos∠A的值为（　　）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在△ABC 中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC 是直角三角形．
cos∴A＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
2．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 ，AB＝b，AB
的最大仰角为 α．当∠C＝45°时，则点 A到桌面的最大高度是（　　）
A．B．C．a+bcosαD．a+bsinα
【分析】过点 A作AF⊥BE 于F，过点 B作BG⊥CD 于G，利用解直角三角形可得 AF＝bsinα，BG＝
a，根据点 A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案
【解答】解：如图，过点 A作AF⊥BE 于F，过点 B作BG⊥CD 于G，
在Rt△ABF 中，AF＝AB•sinα＝bsinα，
在Rt△BCG 中，BG＝BC•sin45°＝a×＝a，
∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，
故选：D．
3．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有三点 A（0，1），B（4，1），C（5，6），则
sin∠BAC＝（　　）
A．B．C．D．
【分析】过 C作CD⊥AB 交AB 延长线于 D，计算出 CD、AC 的长，根据正弦计算方法计算即可．
【解答】解：过 C作CD⊥AB 交AB 延长线于 D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6 1﹣＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
sin∴ ∠BAC＝ ＝ ，
故选：C．
4．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点．点
A、B、C三点都在格点上，则 sin∠ABC＝　 　．
【分析】连接 AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接 AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
则BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
sin∴ ∠ABC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
5．（2023•常州）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，点 D在边 AB 上，连接 CD．若 BD＝CD， ＝ ，
则tanB＝　 　．
【分析】设 AD＝t，根据已知表示出 AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得 tanB＝ ＝ ＝
．
【解答】解：设 AD＝t，
∵BD＝CD， ＝ ，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝ ＝2t，AB＝AD+BD＝4t，
tan∴B＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【中考模拟练】
1．（2024•绥化模拟）在△ABC 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．
【解答】解：A、sinB＝ ，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB＝ ，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
2．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出
了∠A和AB，在用圆规作 BC 时，发现点 C出现 C1和C2两个位置，那么 C1C2的长是（　　）
A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm
【分析】过点 B作BM⊥AC2于点 M，根据含 30°角的直角三角形的性质求出 BM＝3cm，根据等腰三角
形的性质、勾股定理求出 C1M＝C2M＝cm，根据线段的和差求解即可．
【解答】解：过点 B作BM⊥AC2于点 M，
∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，
∴BM＝AB＝3cm，
∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，
∴C1M＝C2M＝ ＝ cm，
摘要：

重难点08解直角三角形及其应用考点一：特殊角的三角函数值及其运算锐角三角函数的定义和运算是中考数学中的必考考点，单独考察时虽然难度不大，但是也需要熟记对应考点。其中特殊角的三角函数值是必须记住的。题型01锐角三角函数的定义易错点：解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三边关系：a2+b2=c2两锐角关系：∠A＋∠B=90°边与角关系：sinA=cosB=ac，cosA=sinB=bc，tanA=ab，tanB=ba锐角α是a、b的夹角面积：S=12absinα【中考真题练】1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝...

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