专题41 概率【十二大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 41 概率【十二大题型】
【题型 1 事件的分类】................................................................................................................................................2
【题型 2 根据概率公式计算概率】............................................................................................................................3
【题型 3 由概率求数量】............................................................................................................................................4
【题型 4 列举法求概率】............................................................................................................................................4
【题型 5 画树状图法/列表法求概率】......................................................................................................................5
【题型 6 几何概率】....................................................................................................................................................6
【题型 7 由频率估计概率】........................................................................................................................................8
【题型 8 放回实验概率计算方法】............................................................................................................................9
【题型 9 不放回实验概率计算方法】........................................................................................................................9
【题型 10 游戏公平性】.............................................................................................................................................10
【题型 11 概率的实际应用】.....................................................................................................................................11
【题型 12 概率与统计综合】.....................................................................................................................................13
【知识点 概率】
1.随机事件
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。
必然事件和不可能事件统称确定性事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.概率
(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1。
(2)一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A包括其中
的m种结果，那么事件 A发生的概率
P(A)= m
n
。
3.列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果
通常采用列表法。
4.树状图法求概率
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，
通常采用树状图法求概率。
5.利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个
事件发生的概率。
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟
实验。
【题型 1 事件的分类】
【例 1】（2023·广东中山·二模）如图，电路图上有 4个开关 A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关
A、B或同时闭合开关 C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是
（　　）
A．只闭合 1个开关 B．只闭合 2个开关
C．只闭合 3个开关 D．闭合 4个开关
【变式 1-1】（2023·浙江宁波·二模）下列事件中属于不可能事件的是（　　）
A．投掷一枚骰子，朝上的点数为 3
B．13 个人中有两个人生日在同一个月份
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球
D．两点之间，线段最短
【变式 1-2】（2024·山西朔州·一模）如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事
件的是（ ）
A．掷得的点数和为 5 B．掷得的点数和为 9
C．掷得的点数和大于 15 D．掷得的点数和小于 13
【变式 1-3】（17-18 七年级下·江西萍乡·期末）某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买 100 元
商品可参加抽奖一次，中奖的概率为
1
3
．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )
A．能中奖一次 B．能中奖两次
C．至少能中奖一次 D．中奖次数不能确定
【题型 2 根据概率公式计算概率】
【例 2】（2023·山东济宁·三模）从有理数
−1，0，1，2
中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线
y=−x+1
上的概率是（ ）
A．
1
6
B．
1
5
C．
1
4
D．
【变式 2-1】（2023·海南省直辖县级单位·二模）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72 秒，绿灯亮25 秒，
黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A．
1
2
B．
1
4
C．
1
3
D．
5
12
【变式 2-2】（2023·安徽合肥·二模）平行四边形 ABCD 的对角线AC
、
BD 相交于O，给出的四个条件
①AB=BC；②
∠
ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形
ABCD 是正方形的概率是（ ）
A．
1
3
B．
1
2
C．
1
6
D．
【变式 2-3】（2023·江苏·模拟预测）一只不透明的袋子中装有 2个白球和 3个黄球，这些球除颜色外都相
同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出 1个球，能使摸到白球、黄
球的概率相等的方案是（ ）
A．增加 2个白球 B．减少 2个黄球
C．增加 1个白球、减少 1个黄球D．增加 4个白球、3个黄球
【题型 3 由概率求数量】
【例 3】（2023·浙江宁波·模拟预测）小明将如图所示的转盘分成 n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇
形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注 1个
数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘 1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标
注的数字大于 8”的概率是
2
3
，则 n的取值为（ ）
A．10 B．8 C．12 D．4
【变式 3-1】（2023·辽宁葫芦岛·一模）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜
色外都相同，其中有 5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为
1
3
，则随机摸出一个黄球的概率为
（　　）
A．
1
4
B．
1
3
C．
5
12
D．
1
2
【变式 3-2】（2023·福建福州·一模）不透明的袋子里有50 张2022 年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会
徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰
墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出 1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是
1
5
，则 n的值是 ．
【变式 3-3】（2023·山东济南·中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有 3
个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是
1
4
，
则盒子中棋子的总个数是 ．
【题型 4 列举法求概率】
【例 4】（2023·广东肇庆·三模）暑假里 5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一
摘要：

专题41概率【十二大题型】【题型1事件的分类】................................................................................................................................................2【题型2根据概率公式计算概率】........................................................................................................................

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