2025年中考数学专题复习：正方形问题（含解析）

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正方形问题

一阶方法突破练

1.如图，在正方形网格中有格点 A，B，在网格中确定格点 C，D，使得以 A，B，C，D为顶点的四边形是正

方形.

2.如图，在平面直角坐标系中，

(

−

√

3,0

)

, B

(

0,1

)

平面内是否存在点 M，N，使得以 A，B，M，N为顶点

的四边形为正方形?若存在，求出 M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，抛物线

y=x²−2x−3

与x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点 C，点 P是直线 BC 下方抛物线上一点，

连接 BP，以 BP 为边在图示一侧作正方形 BPMN，当顶点 M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点 P的坐标.

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设问进阶练

例如图，抛物线

y=5

6x2−13

6x+1

分别与 x轴、y轴交于 B，A两点.

(1)如图①,连接 AB,以AB 为边向上作正方形 ABCD,求点 C的坐标并判断点 C 是否在抛物线上?

(2)将抛物线平移，平移后的抛物线的顶点为 P，点 Q 为平面内一点，若以 A，B，P，Q 为顶点的四边形是面

积为 5的正方形，求平移后的抛物线解析式；

(3)点M 是抛物线上一点，点 H为平面内一点，连接 BM，若点 G在抛物线的对称轴上，是否存在以点

B，M，G，H为顶点且 BM 为边的四边形是正方形?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.

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综合强化练

1.创新题·探究性试题已知抛物线

L₁:y=x²+2kx +k−2

的顶点为 M.抛物线

L₂:y=ax ²+bx+c¿

≠0¿

的顶点

为

M'.

感知特例：

(1)当k=0

k=0

时，抛物线.

L₁

与抛物线

L₂

的部分自变量及其对应的函数值如下表所示：

x -1 0 1 2

y=x²+2kx+k-2 -1 -2 —2

y=ax²+ bx+c(a≠0) 12 1

①抛物线.L₁ 的解析式为，抛物线 L₂ 的解析式为；

②补全表格；

形成概念：

我们发现(1)中的抛物线

L₁

上的点和抛物线

L₂

上的点关于直线

y=k

x对称，则称抛物线.

L₁

与抛线物

L₂

是关

于k的反射抛物线.

探究问题：

(2)若抛物线.

L₁

与抛线物

L₂

是关于 k的反射抛物线.

①当

k=1

时,M'的坐标为 ;

②在①的基础上，请求出抛物线.

L₂

的解析式，并在如图的网格中画出抛物线

L₂

的图象；

③点 B 是抛物线

L₁

上一点，点 B的横坐标为 1，过点 B作x轴的垂线，交抛物线

L₂

于点 C，分别作点 B，C

关于抛物线 L₁ 的对称轴对称的点.

B', C',

连接 BC,

C C', B'C', B B',

当四边形

B B'

C'C 为正方形时，求 k的值.

作图区答题区

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y=x²−2x−3

与x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点 C，直线

l:y=kx +b

经过点 A,C.

(1)求直线 l的解析式；

(2)在第一象限内存在一点 D，使得

△ACD

是以 AC 为直角边的等腰直角三角形，求点 D 的

坐标；

(3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线 AC 左侧有一点 M，将抛物线绕点 M旋转

180 °

得到新

抛物线，其中点 A，C的对应点分别是

A',C',

，若以 A，C，A'，C'为顶点的四边形是正方形，求点

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摘要：

更多更新资料详情加微：xiaojuzi9598或zhixing16881正方形问题一阶方法突破练1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在网格中确定格点C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形.2.如图，在平面直角坐标系中，A(−√3,0),B(0,1),平面内是否存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为正方形?若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标.更多更新资...

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