山西省三重教育2023届高三下学期2月联考数学试题【公众号：一枚试卷君】

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绝密★启用前（新高考卷）

数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．B．C．D．

2．已知复数，满足，，则

A．B．C．D．6

3．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从 A点处开始带球沿正北方向行进 16 米到达

B处，再转向北偏东 60°方向行进了 24 米到达 C处，然后起脚射门，则 A，C两点的距离为

A．米 B．米 C．32 米D．米

4．已知抛物线 C：的焦点为 F，准线为 l，点在 C上，过 P作l的垂线，垂足为

O，若（O为原点），则 F到l的距离为

A．1 B．2 C．4 D．6

5．有一个棱柱形状的石料，底面是边长为 6的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨

成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为

A．B．C．D．

6．已知向量，，其中．若，则

A．B．C．D．

7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3，方差为 5，乙组数据的

平均数为 5，方差为 3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5

8．已知椭圆 M：的上顶点为 A，过点 A且不与 y轴重合的直线 l与M的另一个交点为

（其中），过 B作l的垂线，交 y轴于点 C．若，则 l的斜率 k=

A．B．C．D．

二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。

9．已知等比数列的公比为，前 n项积为，若，则

A．B．C．D．

10．已知函数的图象关于点对称，且存在，

使得在上单调递增，则下列选项正确的是

A．的最小正周期 B．在上单调递增

C．函数的图象不可能关于点对称 D．函数在内不存在极值点

11．已知椭圆 C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆 C交于 A，B两

点（其中 A在B的左侧），记面积为 S，则

A．B．时，

C．S的最大值为 D．当时，

12．已知函数，则下列说法正确的是

A．若在 R上单调递增，则

B．若，设的解集为，则

C．若有两个极值点，，且，则

D．若，则过仅能做曲线的一条切线

三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。

13．A，B两篮球运动员在球衣号分别为 6，8，9，18 的四件球衣中各随机选一件，则 A选的是偶数号球衣

的不同选法共有种．

14．已知直线过定点，则的最小值为．

15．若在圆 C：上存在一点 P，使得过点 P作圆 M：的切线长为，

则r的取值范围为．

16．若曲线与曲线存在公切线，则 a的取值范围为．

四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10 分）

在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知，且△ABC 的周长为 6．

（1）证明：；

（2）求△ABC 面积的最大值．

18．（12 分）

已知数列各项均为正数，，，且．

（1）若，求的前 n项和；

（2）若为等比数列，且不为等比数列，求的值．

19．（12 分）

一对夫要计划进行为期 60 天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只

由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为，由妻子驾

车的概率为；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．

（1）求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；

（2）设在第n天时，由丈夫驾车的概率为，求数列的通项公式．

20．（12 分）

如图，在三棱锥P-ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，，，

．

（1）证明：；

（2）求二面角 A-PC-B的余弦值．

21．（12 分）

已知双曲线C：的焦距为 8．过左焦点 F的直线与 C的左半支交于 A，B两点，

过A，B作直线 l：的垂线，垂足分别为 M，N，且当 AB 垂直于 x轴时，．

（1）求 C的标准方程；

（2）设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求出 t的值；

若不存在，说明理由．

22．（12 分）

设函数，其中，．

（1）若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求 t的最小值：

（2）证明：对任意正数 a，b，仅存在唯一零点．

绝密★启用前（新高考卷）

数学参考答案

1．【答案】A

【解析】易知，因为，所以，所以

．

2．【答案】C

【解析】因为，所以．

3．【答案】D

【解析】由题意可知，，则．

4．【答案】C

【解析】因为，所以，即，所以F到l的距离为 4．

5．【答案】B

【解析】易知该石料底面内切圆半径为，所以打磨而成的石球，与该石料的各个侧面均相切，

因为最多打磨成四个，所以该石料的高度最小值为，

所以该石料的体积，

又四个石球的总体积，所以至少需要打磨掉的体积为．

6．【答案】B

【解析】因为，所以，

所以，即，其中，，

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摘要：

绝密★启用前（新高考卷）数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知复数，满足，，则A．B．C．D．63．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向...

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