2024北京朝阳高三一模数学试题及答案

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2024 北京朝阳高三一模
数 学
2024.4
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题 40 分和非选择题 110 分
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集
{1,2,3,4}, { | 2}U A x U x= = 
，则
UA=
（A）
{1}
（B）
{1,2}
（C）
{3,4}
（D）
{2,3,4}
（2）复数
i
3i+
在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）在
ABC△
中，
，则
B=
（A）
6
（B）
6
或
6

（C）
3
（D）
3
或
3

（4）已知
aR
，则“
01a
”是“函数
3
( ) (1 )f x a x=−
在
R
上单调递增”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）已知直线
3 6 0xy− + =
和圆
2 2 2 ( 0)x y r r+ =
相交于
,AB
两点．若
| | 6AB =
，则
r=
（A）
2
（B）
23
（C）
4
（D）
32
（6）已知等比数列
{}
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
1 2 3 4
1, 4aaaa =++=
，则
6
S=
（A）
9
（B）
16
（C）
21
（D）
25
（7）已知双曲线
22
22
: 1( 0, 0)
xy
C a b
ab
− =
的右焦点为
F
，过点
F
作垂直于
x
轴的直线
l
，
,MN
分别是
l
与双曲线
C
及其渐近线在第一象限内的交点．若
M
是线段
FN
的中点，则
C
的渐近线方程为
（A）
yx=
（B）
2
2
yx=
（C）
3
3
yx=
（D）
5
5
yx=
（8）在
ABC△
中，
2, 2 3AB AC BC= = =
，点
P
在线段
BC
上．当
PA PB
取得最小值时，
PA =
（A）
3
2
（B）
7
2
（C）
3
4
（D）
7
4
（9）在棱长为
1
的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，
,,E F G
分别为棱
11
,,AA BC CC
的中
点，动点
H
在平面
EFG
内，且
1DH =
．则下列说法正确的是
（A）存在点
H
，使得直线
DH
与直线
FG
相交
G
F
D
1
C
1
B
1
E
A
1
D
C
B
A
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（B）存在点
H
，使得直线
DH ⊥
平面
EFG
（C）直线
1
BH
与平面
EFG
所成角的大小为
π
3
（D）平面
EFG
被正方体所截得的截面面积为
33
2
（10）已知
n
个大于 2的实数
21 ,, , n
xx x
，对任意
( 1,2, ),
inxi=
，存在
2
i
y≥
满足
ii
yx
，且
ii
yx
ii
xy=
，则
使得
1 2 1 15
nn
x x x x
−
+ + + ≤
成立的最大正整数
n
为
（A）14 （B）16 （C）21 （D）23
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
（11）在
6
( 1)x−
的展开式中，
x
的系数为________．（用数字作答）
（12）已知抛物线
22 ( 0)x py p=
的焦点为
F
，准线方程为
1y=−
，则
p=
________；设
O
为原点，点
00
(),Mx y
在抛物线上，若
| | | |OM FM=
，则
0
y=
________．
（13）已知函数
| 1|, 2,
() 5 , 2.
xx
fx xx
−
=−
≤
若实数
, , ( )abc bca
满足
( ) ( ) ( )f a f b f c==
，则
ab+=
________；
abc++
的取值范围是________．
（14）已知函数
1
( ) sin
22f x x=
．若曲线
()y f x=
在点
11
( , ( ))A x f x
处的切线与其在点
22
( )), (B x f x
处的切线
相互垂直，则
12
xx−
的一个取值为________．
（15）设
,AB
为两个非空有限集合，定义
||
( , ) 1 ||
AB
J A B AB
=−
，其中
||S
表示集合
S
的元素个数．某学校甲、
乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6门高中学业水平等级性考试
科目中自主选择 3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为
1 2 3 4
, , ,S S S S
．已知
1{S=
物理，化学，生物
}
，
2{S=
地理，物理，化学
}
，
3{S=
思想政治，历史，地理
}
，给出下列
四个结论：
①若
24
( , ) 1J S S =
，则
4{S=
思想政治，历史，生物
}
；
②若
2 1 41
( , ) ( , )J S S J S S=
，则
4{S=
地理，物理，化学
}
；
③若
4
S
={思想政治，物理，生物}，则
1 4 2 4 3 4
( , ) ( , ) ( , )J S S J S S J S S=
；
④若
1 4 2 4 3 4
( , ) ( , ) ( , )J S S J S S J S S=
，则
4
S
={思想政治，地理，化学}．
其中所有正确结论的序号是________．
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三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数
π
( ) sin( )( 0, 0, 0 )
2
f x A x A
 
= +  
的最小正周期为
π
．
（Ⅰ）若
1, (0) 2
2
Af==
，求
的值；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定
()fx
的解析式，并求函数
( ) ( ) 2cos2h x f x x=−
的单调递增区间．
条件①：
()fx
的最大值为
2
；
条件②：
()fx
的图象关于点
π
( , 0)
12
中心对称；
条件③：
()fx
的图象经过点
π
( , 3 )
12
．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题 14 分）
如图，在三棱锥
D ABC−
中，侧面
DAC ⊥
底面
ABC
，
,AD DC AB BC==
．
（Ⅰ）求证：
AC BD⊥
；
（Ⅱ）已知
5, 2, 2AB AC AD= = =
，
F
是线段
BD
上一点，当
AF BD⊥
时，求二面角
F AC B−−
的余弦值．
（18）（本小题 13 分）
为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市
面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动．对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取
两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分．从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取 10 篇，这
10 篇论文的评分情况如下表所示．
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
F
D
C
B
A
摘要：

第1页/共13页2024北京朝阳高三一模数学2024.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，则（A）（B）（C）（D）（2）复数在复平面内对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）在中，，则（A）（B）或（C）（D）或（4）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知直线和圆相交于两点．若，则（A）（B）（...

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