2024北京石景山高三一模数学试题及答案

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2024 北京石景山高三一模
数 学
本试卷共 9页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知集合
 
22 3 0A x x x= − − 
，
 
1B x x=
，则
AB=
A.
( 1,3)−
B.
( 3,1)−
C.
( 1,1)−
D.
(1,3)
2. 下列函数中，在区间
( 1,1)−
上为减函数的是
A.
B.
( ) cosf x x=
C.
( ) ln( 1)f x x=+
D.
( ) 2 x
fx −
=
3. 一袋中有大小相同的
4
个红球和
2
个白球. 若从中不放回地取球
2
次，每次任取
1
个球，记“第一次取到
红球”为事件
A
，“第二次取到红球”为事件
B
，则
()P B A =
A.
4
15
B.
2
5
C.
3
5
D.
4
5
4. 设
,,
 
是三个不同平面，且
l

=
，
m

=
，则“
//lm
”是“
//

”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 等差数列
 
n
a
的首项为
1
，公差不为
0
. 若
2 3 6
,,a a a
成等比数列，则
 
n
a
的前
5
项和为
A.
15−
B.
3−
C.
5
D.
25
6. 直线
1y kx=+
与圆
22
( 1) 16xy+ + =
相交于
,AB
两点，则线段
AB
的长度可能为
A.
5
B.
7
C.
9
D.
14
7. 已知函数
( ) 2sin( )f x x

=+
π
( 0,| | )
2


的部分图象如图所示，则
(π)f−
的值是
A.
3
B.
1
C.
1−
D.
3−
8. 设
0.3
2a=
，
π
sin12
b=
，
ln 2c=
，则
A.
c b a
B.
b c a
C.
abc
D.
bac
9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的
五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有
第2页/共4页
A.
18
种 B.
24
种 C.
36
种 D.
72
种
10. 对于曲线
22
:1C x y
−−
+=
，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线
C
上任意一点到坐标原点的距离不小于
2
；
③曲线
C
与曲线
| | | | 3xy+=
有四个交点.
其中正确的命题个数是
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
11. 复数
z
在复平面内对应的点为
( 1,2)−
，则
5
z=
_________.
12. 斜率为
1
的直线
l
经过抛物线
24yx=
的焦点为
F
，且与该抛物线相交于
,AB
两点，
则
||AB =
_________.
13. 已知向量
,ab
满足
| | 2=b
，
a
与
b
的夹角为
π
6
，则当实数
变化时，
||
−ba
的最小值为_________.
14. 设函数
3
2
3 , 1
() 3 , 1
x ax x
fx x a x
+
=+
.
①若
()fx
有两个零点，则实数
a
的一个取值可以是_________；
②若
()fx
是
R
上的增函数，则实数
a
的取值范围是_________.
15. 黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：
[0,1]x
时，
*
1, ( , , )
()
0, 0,1 (0,1)
pp
x p q
q q q
Rx
x
=
=
=
N为既约真分数
和 内的无理数
. 若数列
1
()
n
n
aR
n
−
=
，
*
nN
，
给出下列四个结论：
①
1
n
an
=
；
②
21nn
aa
++
；
③
1
1
1
2
n
ii
i
aa+
=
；
④
1
1
ln 2
n
i
i
n
a
=
+
.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题 13 分）
在锐角
ABC△
中，角
,,A B C
的对边分别为
,,abc
，且
2 sin 3 0b A a−=
.
第3页/共4页
（Ⅰ）求角
B
的大小；
（Ⅱ）求
cos cosAC+
的取值范围.
17.（本小题 14 分）
如图，在四棱锥
P ABCD−
中，
PA ⊥
平面
ABCD
，
2PA AD CD= = =
，
3BC =
，
23PC =
.
（Ⅰ）求证：
CD ⊥
平面
PAD
；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求平面
PBC
与平面
PAD
所成锐二面角的大小.
条件①：
5AB =
；
条件②：
//BC
平面
PAD
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得
0
分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分.
18.（本小题 13 分）
为研究北京西部地区 2次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假
以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的
抽样调查数据. 其中两地区林下灌木层获得数据如表
1
，表
2
所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
（Ⅰ）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选
2
株，求
2
株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（Ⅱ）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取
3
株
（假设每次抽取的结果互不影响），记这
3
株植物的植物类型是灌木的株数为
X
. 求
X
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表 1中植物名称的植物中任选
2
株，记此
2
株植物属于不
同植物名称的概率估计值为
1
P
；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表 2中植物名称的植物中任选
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
摘要：

第1页/共4页2024北京石景山高三一模数学本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，，则A.B.C.D.2.下列函数中，在区间上为减函数的是A.B.C.D.3.一袋中有大小相同的个红球和个白球.若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则A.B.C.D.4.设是三个不同平面，且，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分...

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