UNE INTRODUCTION AUX PÉRIODES par Javier Fresán
2025-05-06
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UNE INTRODUCTION AUX PÉRIODES
par
Javier Fresán
Résumé. Les périodes sont des nombres complexes dont la partie
réelle et la partie imaginaire s’écrivent comme des intégrales d’une
fonction rationnelle sur un domaine défini par des inégalités poly-
nomiales, le tout à coefficients rationnels. Selon une conjecture de
Kontsevich et Zagier, n’importe quelle relation algébrique entre ces
nombres devrait pouvoir se déduire des règles évidentes du calcul
intégral : l’additivité, le changement de variables et la formule de
Stokes. Dans un premier temps, j’explique la définition des périodes
et quelques propriétés élémentaires qui s’ensuivent, en les illustrant
par maints exemples. Ensuite, je me dirige doucement vers l’inter-
prétation de ces nombres comme les coefficients de l’accouplement
d’intégration entre la cohomologie de de Rham algébrique et l’homo-
logie singulière des variétés algébriques définies sur Q, point de vue
qui est à l’origine de toutes les percées récentes dans leur étude.
Table des matières
1. Un peu d’histoire................................. 2
2. Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. La conjecture de Kontsevich-Zagier. . . . . . . . . . . . . . 29
4. Homologie singulière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. Cohomologie de de Rham algébrique. . . . . . . . . . . . . 55
6. L’accouplement de périodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7. Une variante relative............................. 95
8. Périodes exponentielles et cohomologie. . . . . . . . . . . 111
9. Retour sur la relation de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . 119
10. Vers une théorie de Galois pour les périodes . . . . 125
Références..........................................144
L’auteur a bénéficié du soutien du projet ANR-18-CE40-0017 « Périodes en Géo-
métrie Arithmétique et Motivique » de l’Agence Nationale de la Recherche.
arXiv:2210.03407v1 [math.AG] 7 Oct 2022
2JAVIER FRESÁN
1. Un peu d’histoire
Il sera question dans ces notes d’une classe de nombres, les périodes,
dont l’origine remonte aux premières heures du calcul intégral, car
avant de devenir objets du désir des arithméticiens ce furent surtout
les périodes de révolution des planètes ou le temps que met un pendule
à revenir à sa position initiale...
1.1. Les ovales de Newton
On prendra pour point de départ le lemme XXVIII du premier
livre des Principia de Newton, qui s’énonce ainsi dans la traduction
française de la marquise du Châtelet [53] :
Les parties quelconques de toute figure ovale, détermi-
nées par les coordonnées ou par d’autres droites tirées à
volonté, ne peuvent jamais être trouvées par aucune équa-
tion d’un nombre fini de termes et de dimensions.
Autrement dit : si l’on se donne un ovale dans le plan, l’aire S(a, b, c)
du segment délimité par une droite d’équation ax +by =cn’est pas
une fonction algébrique des paramètres, en ce sens qu’il n’existe pas de
polynôme non nul à coefficients complexes en quatre variables Psa-
tisfaisant à l’égalité P(a, b, c, S(a, b, c)) = 0 pour toutes valeurs a, b, c.
ax +by =c
Figure 1. Aires d’un segment et d’un secteur d’ovale
Il revient au même de dire que l’aire du secteur coupé par deux
demi-droites quelconques émanant d’un point à l’intérieur de l’ovale
n’est pas une fonction algébrique des données : comme le montre la
figure 1, on peut passer de l’une à l’autre en retranchant un triangle
dont l’aire s’exprime algébriquement en fonction des paramètres.
Par l’intermédiaire des lois de Kepler, selon lesquelles les planètes
tracent des orbites elliptiques autour du soleil en balayant des aires
UNE INTRODUCTION AUX PÉRIODES 3
Figure 2. Lemme XXVIII des Principia de Newton
égales dans des temps égaux, Newton en déduit que leur position ne
peut pas être déterminée algébriquement en fonction du temps :
De là on voit que l’aire elliptique décrite autour du foyer
ne peut pas être exprimée dans un temps donné par une
équation finie [...]
Son lemme de transcendance lui sert ainsi à justifier que la solution
qu’il apporte au problème de « trouver pour un temps donné le lieu
d’un corps qui se meut dans une trajectoire elliptique donnée » ne
soit pas ce qu’il appelle une courbe « géométriquement rationnelle »,
c’est-à-dire algébrique dans la terminologie actuelle, mais « géométri-
quement irrationnelle », c’est-à-dire transcendante(1).
Fixons un point Oà l’intérieur de l’ovale et une demi-droite l’ayant
pour origine. Il s’agit de voir que la fonction S(`)qui, à une autre
demi-droite `partant de ce même point, associe l’aire du secteur
qu’elles découpent sous l’ovale est transcendante : si l’on exprime
(1)À savoir, la cycloïde. Et « comme la description de cette courbe est difficile »,
il invente dans la foulée la méthode d’approximation... de Newton !
4JAVIER FRESÁN
tout en termes de l’angle θdécrivant le secteur, les fonctions S(θ)
et tan(θ)ne satisfont à aucune relation polynomiale non triviale.
O
Figure 3. Partie de l’ovale délimitée par deux demi-droites
Voici la démonstration que propose Newton. Faisons tourner « per-
pétuellement d’un mouvement uniforme » la demi-droite `et consi-
dérons sur elle « un point mobile allant toujours depuis le pôle avec
une vitesse qui soit comme le carré de la partie de cette ligne renfer-
mée dans l’ovale ». La première condition signifie que l’angle θ(t)est
proportionnel au temps t(on les supposera égaux pour simplifier) et
la seconde se traduit par l’équation différentielle
dR
dθ =r2,
où R(θ)désigne la position du point qui bouge et r(θ)la longueur
de la partie de la droite renfermée dans l’ovale. « Ce point décrira
alors une spirale composée d’une infinité de spires ». Par exemple, si
l’ovale est un cercle de centre O, alors la fonction r(θ)est constante et
l’équation différentielle décrit une spirale d’Archimède R=r2θ+ cst.
Par ailleurs, comme l’aire d’un triangle rectangle d’hypoténuse ret
d’angle infinitésimal dθ vaut r2dθ/2à l’ordre un, la fonction S(θ)
satisfait à l’équation différentielle
dS
dθ =r2
2.
Les fonctions R(θ)et 2S(θ)diffèrent donc par une constante : si l’une
est algébrique, l’autre aussi. Or, la spirale n’est pas une courbe algé-
brique car elle coupe toute droite en une infinité de points(2).
(2)« Or si la portion d’aire ovale, coupée par cette droite, peut être trouvée par une
équation d’un nombre fini de termes, on aura aussi, par la même équation, le rayon
de la spirale qui est proportionnel à cette aire. Ainsi on pourra trouver par une
équation finie tous les points d’une spirale, et par conséquent on pourra trouver
aussi l’intersection d’une droite quelconque donnée de position, et d’une spirale par
UNE INTRODUCTION AUX PÉRIODES 5
O
Figure 4. Toute droite coupe une infinité de fois la spirale
décrite par le point mobile
Aussi convaincant que ce raisonnement puisse paraître au premier
abord, on y trouve plusieurs sources d’ambiguïté qui, ne passant pas
inaperçues aux lecteurs contemporains, donnèrent lieu à une polé-
mique qui ne serait étouffée que trois cent ans après la publication des
Principia [57]. Qu’entend Newton par « figure ovale » ? Qu’entend-il
par « jamais » ? Jakob Bernoulli accepte la démonstration d’emblée
et s’en inspire pour ses travaux sur la spirale logarithmique. Leib-
niz et Huygens n’y croient pas et se lancent dans un va-et-vient de
contre-exemples dans leur correspondance. Voici ce que Huygens écrit
à Leibniz dans une lettre datée à La Haye le 5 mai 1691 :
une équation finie ; mais toute droite prolongée infiniment coupe une spirale en une
infinité de points, et toute équation qui donne l’intersection quelconque de deux
lignes doit donner toutes leurs intersections par autant de racines, et doit avoir
par conséquent autant de dimensions qu’il y a d’intersections ». La discussion qui
suit ce passage chez Newton laisse entendre qu’il connaissait une forme faible du
théorème de Bézout, notamment l’énoncé que deux courbes planes de degrés m
et nsans composante commune s’intersectent en au plus mn points (pour une
reconstitution de la preuve qu’il aurait pu donner, voir [8, note (48), p. 116]).
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UNEINTRODUCTIONAUXPÉRIODESparJavierFresánRésumé.Lespériodessontdesnombrescomplexesdontlapartieréelleetlapartieimaginaires'écriventcommedesintégralesd'unefonctionrationnellesurundomainedé nipardesinégalitéspoly-nomiales,letoutàcoe cientsrationnels.SelonuneconjecturedeKontsevichetZagier,n'importequell...
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Voltage-Controlled High-Bandwidth Terahertz Oscillators Based On Antiferromagnets Mike A. Lund1Davi R. Rodrigues2Karin Everschor-Sitte3and Kjetil M. D. Hals1 1Department of Engineering Sciences University of Agder 4879 Grimstad Norway10 玖币0人下载
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