数学笔记(精华版)

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1
高等数学
高中公式
三角函数公式
和差角公式 和差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
()
1
1
()
tg tg
tg tg tg
ctg ctg
ctg ctg ctg
 
 

 

 
 



sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
cos cos 2cos cos
22
cos cos -2sin sin
22
   

   

   

   









积化和差公式 倍角公式
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos sin [sin( ) sin( )]
2
1
cos cos [cos( ) cos( )]
21
sin sin [cos( ) cos( )]
2
   
   
   
 
 
 
 
 
2
22
2
22
2
2
2
3
3
3
2
2tan
sin 2 2sin cos 1 tan
cos2 2cos 1 1 2sin
1 tan
cos sin 1 tan
21
2 2
12
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3
313
tg ctg
tg ctg
tg ctg
tg tg
tg tg
 
 




 
 


  



半角公式
1 cos 1 cos
sin cos
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
tg
ctg
 
 
 
 
 

   

 


 

　
11
V =SH V = SH V = H(S+ +S )
33
SS
棱柱 棱锥 棱台
球的表面积：4πR2 球的体积：
3
4
3R
椭圆面积：πab 椭球的体积：
4
3abc
第1章 极限与连续
1.1 集合、映射、函数
空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，
上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界
确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。
映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，
因变量，基本初等函数
1.2 数列的极限
性质：
1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。
2. （有界性）收敛数列必为有界数列。
3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。
注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。
注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a，且这两个子列合起来
就是原数列，则原数列也收敛于 a。
注3. 性质 3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从
该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。
4. （对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于 a，则改变{xn}中的有限项所
得到的新数列仍收敛于 a。
5. （保序性）若
，且 a<b，则存在 N，当 n>N 时，有
xn<yn。
判别法则：
1.夹逼法则：若∃N,当n>N 时，xn≤yn≤zn，且
lim
n
xn=
lim
n
zn=a, 则
lim
n
yn=a。
2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。
注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。
3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存
在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|xm-xn|<ε。
1.3 函数的极限
性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1.夹 逼 法 则 ： 若
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x A


，且存在 x0的 某 一 去 心 邻 域
00
( , ) ( , )
oo
U x x U x

，使得
，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则
0
lim ( )
xx
g x A
。
2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。
3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈
0
( , )
o
Ux
,
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
4.海涅(Heine)归结原则：
0
lim ( )
xxf x A
的充要条件是：对于任何满足
0
lim n
nxx

的数列{xn}，都有
lim ( )
n
nf x A

。
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个
收敛于该点的自变量 x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或
者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}
却具有不同的极限。
1.4 无穷小与无穷大
若
0
()
lim ()
xx
xl
x
，当
0
0
1
l
时，则称 x→x0时称 α(x) 是β(x) 的
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ~ ( )
x o x
x O x
xx



高阶无穷小，记作
同阶无穷小，记作
等阶无穷小，记作
常用等价无穷小
2
sin tan arcsin arctan 1ln(1 ) ~
1
1 cos ~ (1 ) 1~ 1~ ln
2
x
ax
x x x x e x x
x x x ax a x a
 
 
若f(x=0), f’(0)≠0,则
2
0
1
( ) (0)
2
xf t dt f x
确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式
1.5 连续函数
极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。
1.6 常见题型
求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.
泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；
求极限
lim n
nx

,就要将数列 xn 放大与缩小成：zn≤xn≤yn.
8.求递归数列的极限
(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设
lim n
nxA

, 再对递
归方程
1()
nn
a f a
取极限得 A=f(A), 最后解出 A即可。
(2)先设
lim n
nxA

，对递归方程取极限后解得 A，再用某种方法证明
lim n
naA

。
第2章 导数与微分
2.1 求导法则和求导公式
求导法则：

2
1.四则运算法则
[αu(x)+ βv(x)]’=αu’(x)+ βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[]
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x

2.复合函数求导
( [ ( )]) [ ( )] ( )f x f x x
 
 
关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量
3.反函数求导
11
[ ( )] ()
fy fx
4.隐函数求导
5.参数式求导
2
23
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,
() ( ) [ ( )]
x x t dy y t d y y t x t y t x t
y y t dx x t dx x t
   


6.对数求导法
7.分段函数求导
(1)按求导法则求连接点处的左右导数
设
00 0 0
0
( ),
( ) , ( ) ( ) , ( ) .
( ),
g x x x x
f x g x h x A f x A
h x x x x

  
 
 
 
若 则
(2) 按定义求连接点处的左右导数
设
0
0
0
00
0
( ), ( ) ( )
( ) , , ( ) ( )
( ),
g x x x x g x f x x
f x A x x g x h x
h x x x x

 
  

  
与 在点 处无定义，
可按定义求 与
(3)对于
0
0
0
0
00
0
( ) ( )
(1) ( ) ( ) lim
( ),
( ) ,
,(2) ( ) lim ( )
xx
xx
f x f x
f x f x
g x x x xx
fx A x x f x f x

 
 

很复杂，按定义求,
否则，先求出 ，再求
8.变限积分求导
()
() ( ) , ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
x
x
dy
y f t dt f x x f x x
dx
   

 
求导公式：
1
( ) 0
()
( ) ln
1
(log ) ln
xx
a
C
xx
a a a
xxa

2
2
(sin ) cos
(cos ) sin
(tan ) sec
( ) csc
(sec ) sec tan
(csc ) csc
xx
xx
xx
ctgx x
x x x
x x ctgx



 
2
2
2
2
1
(arcsin ) 1
1
(arccos ) 1
1
()
11
()
1
xx
xx
arctgx x
arcctgx x


2.2 高阶导数和高阶微分
求高阶导数的方法：
1.莱布尼茨（Leibniz）公式：
( ) ( ) ( )
0
( ( ) ( )) ( ) ( )
n
n k k n k
n
k
u x v x C u x v x
2.常用公式
()
()
ax b n n ax b
e a e

()
(sin( )) sin( )
2
nn n
ax b a ax b
 
()
(cos( )) cos( )
2
nn n
ax b a ax b
 
()
(( ) ) ( 1)...( 1)( )
n n n
ax b a n ax b

 
 
()
1
1 ( 1) !
() ()
n
nn
n
n
a
ax b ax b

( ) 1 1
(ln( )) ( 1) ( 1)!()
n n n
n
ax b a n ax b
 
3.分解法
分解为上述初等函数之和
第3章 中值定理和泰勒公式
3.1 中值定理
费马定理：若是 x0是f(x)的一个极值点，且 f’(x0)存在，则必有 f’(x0)=0(可微
函数的极值点必为驻点)，
1.罗尔定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间
(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 f’(ξ)=0.
2.拉格朗日定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开
区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
( ) ( ) ()
f b f a f
ba
.
3.柯西定理：若函数 f(x)和g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在
开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f
g b g a g
3.2 泰勒公式
求泰勒公式的方法：
1.泰勒公式（拉格朗日余项）：
() ( 1) 1
000
0
() ()
( ) ( ) ( )
! ( 1)!
kn
nkn
k
fx f
f x x x x x
kn
 
2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）
21
3 5 2 1 2 1
1
2 4 2 2 2
1
2 3 1
1
11! 2! ! ( 1)!
sin ( 1) ( 1) cos
3! 5! (2 1)! (2 1)!
cos 1 ( 1) ( 1) cos
2! 4! (2 )! (2 2)!
ln(1 ) ( 1) ( 1)
2 3 ( 1)(1
nn
xx
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x x x x
ee
nn
x x x x
x x x
nn
x x x x
xx
nn
x x x x
xx nn

 
   

   
     1
2 1 ( 1)
)
(1 ) (1 )
0 1 2 1
n
n n n
x
x x x x x x
nn

 
 
       
 
       
       
2 1 1 1 ( 1)
2 1 1 ( 1)
1( 1)
11
2
2
11 ... ( 1) ( 1) (1 )
111 ... (1 )
1
1 (2 3)!! (2 1)!!
1 1 ( 1) ( 1) (1 )
2 (2 )!! (2 2)!!
n n n n n
n n n
nn
k k n n
k
x x x x x
x
x x x x x
x
kn
x x x x x
kn
 
 


   
 

 
3.逐项求导或逐项积分
若
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
f x x f x t dt


或
，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，
然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到 f(x)的泰勒公式。
例如：
2 4 5 3 5 5
2
00
1 1 1
arctan (1 ) ( ) ( )
1 3 5
xx
x dt t t dt o x x x x o x
t
 

3.3 函数的极值、最值
驻点，导数不存在的点为极值可疑点。
驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。
极值判别法则：
1.设点 x0为函数 f(x)的极值可疑点，f(x)在点 x0的邻域内连续，去心邻域内可
微，如果在(x0-δ,x0)内f’(x0)≥0，在 (x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则 x0必为 f(x)的极大
值点。反之必为极小值点。
2.若点 x0是f(x)的驻点且 f’’(x0)存在，则当 f’’(x0)>0(<0)时，x0必为 f(x)的极小
(大)值点。
3.设函数 f(x)在点 x0处有 n阶导数，且
( 1)
0 0 0
( ) ( ) ... ( ) 0
n
f x f x f x

 
，
但
() 0
( ) 0
n
fx
，则(i)当n为偶数时，f(x)在点 x0处取极值，当
() 0
( ) 0
n
fx
时
取极小值，当
() 0
( ) 0
n
fx
时取极大值；(ii)当n为奇数时 f(x0)不是极值。
3.4函数作图
定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则 f(x)在[a,b]
上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f’(x) 在开区间(a,b)内单调递减（增）。
2. f(λx1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1).
3. f’’(x0)≤(≥)0.
若函数 f(x)在点 x0处凹凸性相反，则点 x0称为 f(x)的拐点。
拐点的必要条件：f’(x0)=0 或f’(x0)不存在。
拐点的充要条件：f’’(x)经过时变号。
渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线⇔
0
lim
xa 
或
0
lim
xa 
.
3
2.斜渐近线：f(x)=ax+b,
()
lim , lim ( ( ) )
xx
fx
a b f x ax
x
 
 
或
()
lim , lim ( ( ) )
xx
fx
a b f x ax
x
 
 
（水平渐近线为其特例）。
函数作图的步骤：
1. 确定函数的定义域；
2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；
3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；
4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；
5. 适当确定一些特殊点的函数值；
6. 根据上面提供的数据，作图。
第4章 积分
4.1 不定积分
4.1.1.基本积分表
1
1 1 1
ln | |
1 ln
sin cos cos sin
tan ln |cos | cot ln |sin |
sec ln |sec tan |
csc ln | csc cot ln |csc cot ln | tan
xx
x dx x C dx x C a dx a C
xa
xdx x C xdx x C
xdx x C xdx x C
xdx x x C
x
xdx x x C x x C

  
  
  
 
     
 


22
2
2
|
2
sec tan csc cot
tan sec sec csc cot csc
1arcsin arccos
1
1arctan arccot
1
C
xdx x C xdx x C
x xdx x C x xdx x C
dx x C x C
x
dx x C x C
x
  
  
 
 


或
或
22 22
22
22 22
22
22 22
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
arctan arcsin
1 1 1
ln | | ln | |
2
1 1 1
ln | | ln( )
2
arcsin
22
2
xx
dx C dx C
a x a a a
ax
ax
dx C dx x x a C
a x a a x xa
xa
dx C dx x x a C
x a a x a xa
x a x
a x dx a x C
a
x
x a dx x a
 
 

 

 
 



222
2
2 2 2 2 2 2
22
22
ln
2
ln( )
22
cos ( cos sin )
sin ( sin cos )
ax
ax
ax
ax
ax x a C
xa
x a dx x a x x a C
e
e bxdx a bx b bx C
ab
e
e bxdx a bx b bx C
ab
 
 
 
 
不可积的几个初等函数：
222
1 sin cos
sin cos
ln
xxx
e x x
x x x
4.1.2.换元积分法和分部积分法
换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。
2.第二类换元积分法，拆分。
分部积分法：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx



4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分
有理函数
()
() ()
Px
Rx Qx
的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：
（1）
Adx
xa
；（ 2）
A
()
ndx
xa
；
（3）
2
Mx+N dx
x px q
；（ 4）
2
Mx+N
()
ndx
x px q
1
2 2 2 2 2 1 2
1 2 3
( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1)
nn
nn
dx x n
II
x a a n x a a n
 
 
三角函数有理式的积分一般用万能代换
tan 2
xt
，对于如下
形式可以采用更灵活的代换：
对于积分
22
(sin ,cos )R x x dx
，可令 tanx=t；
对于积分
(sin )cosR x xdx
，可令 sinx=t；
对于积分
(cos )sinR x xdx
，可令 cosx=t，等等。
某些可化为有理函数的积分
1.
( , )
nax b
R x dx
cx d
型积分，其中 n>1，其中 ad ≠bc。
这里的关键问题是消去根号，可令
ax b t
cx d
。
2.
2
(,R x ax bx cdx
型积分,其中
240b ac
，a ≠0 。 由 于
2
22
2
4
()
24
b ac b
ax bx c a x aa
 
，故此类型积分可以化为以下三种类型：
22
( , )R u k u dx
，可用三角替换
sinu k t
；
22
( , )R u u k dx
，可用三角替换
secu k t
；
22
( , )R u u k dx
，可用三角替换
tanu k t
。
12
1
tan tan
1
nn
nn
I xdx x I
n
 
倒代换：
2
4
1
1
xdx
x
，
2
4
1
1
xdx
x
，由此还可以求出
4
1
1dx
x
，
2
4
1
xdx
x
22
11
sin cos ,( 0)
sin cos
a x b x dx a b
a x b x

解 ： 设
11
sin cos ( sin cos ) ( cos sin )a x b x A a x b x B a x b x 
，为此应有
1
1
aA bB a
bA aB b


，解得
1 1 1 1
2 2 2 2
,
aa bb ab ba
AB
a b a b



，故
11
sin cos ( sin cos )
sin cos sin cos
a x b x a x b x
dx A dx B dx
a x b x a x b x
 

1 1 1 1
2 2 2 2 ln | sin cos |
aa bb ab ba
x a x b x C
a b a b

 

4.2 定积分
4.2.1.可积条件
可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上可积，则 f(x)在[a,b]上有界。
可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。
4.2.2.定积分的计算
1.换元积分法
( ) ( ( )) ( )
b
af x dx f t t dx


从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类
换元积分法。
2.分部积分法
( ) ( ) ( ) ( )| ( ) ( )
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x u x v x dx



常见的积分和式
1
1
( ) ( )
( ) lim ( )
( 1)( ) ( )
( ) lim ( )
n
b
ani
n
b
ani
i b a b a
f x dx f a nn
i b a b a
f x dx f a nn




 

摘要：

1高等数学高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式积化和差公式倍角公式半角公式球的表面积：4πR2球的体积：椭圆面积：πab椭球的体积：第1章极限与连续1.1集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数1.2数列的极限性质：1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。2.（有界性）收敛数列必为有界数列。3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。注1.一个数列有...

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