第一部分必考内容必修1 第四章曲线运动万有引力与航天专题天体运动的“四个热点”问题

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专题　天体运动的“四个热点”问题

　双星或多星模型

1.双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图 1

所示。

图1

(2)特点

① 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

＝m1ωr1，＝m2ωr2

② 两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2

③ 两颗星的半径与它们之间的距离关系为 r1＋r2＝L

(3)两颗星到圆心的距离 r1、r2与星体质量成反比，即＝。

2.多星模型

模型三星模型(正三角形排

列)

三星模型(直线等间距

排列)

四星模型

图示

向心力

的来源

另外两星球对其万有引

力的合力

另外两星球对其万有

引力的合力

另外三星球对其万

有引力的合力

【例 1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子

星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s 时，

它们相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看作

是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以

估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A.质量之积 B.质量之和

C.速率之和 D.各自的自转角速度

解析　由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动 12 圈，则两中子星

的周期相等，且均为 T＝ s，两中子星的角速度均为 ω＝，两中子星构成了双星

模型，假设两中子星的质量分别为 m1、m2，轨道半径分别为 r1、r2，速率分别为

v1、v2，则有 G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又 r1＋r2＝L＝400 km，解得 m1＋m2＝，A

错误，B正确；又由 v1＝ωr1、v2＝ωr2，则 v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由

题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。

答案　BC

1.(2019·吉林模拟)我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物

质的观测研究已处于世界领先地位。宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中

心匀速转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且＝k(k＞1)。因此，科

学家认为，在两星球之间存在暗物质。假设以两星球球心连线为直径的球体空间

中均匀分布着暗物质(已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量

集中在球心处对质点的作用)，两星球的质量均为 m。那么暗物质的质量为(　　)

A.m B.m

C.(k2－1)m D.(2k2－1)m

解析　双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，令它们之间的距离为 L，由

万有引力提供向心力得 G＝m·，解得 T理论＝πL。根据观测结果，星体的运动周

期＝k，这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起的，又均匀分布在球

体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 m′(位于球心

处)的质点对双星系统的作用相同，有 G＋G＝m·，解得 T观测＝πL，所以 m′＝

m。选项 B正确。

答案　B

2.(多选)为探测引力波，中山大学领衔的“天琴计划”将向太空发射三颗完全相

同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形的中心，

卫星将在以地球为中心、离地面高度约 10 万公里的轨道上运行，针对确定的引

力波源进行引力波探测。如图 2所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖

琴，故命名为“天琴计划”。已知地球同步卫星距离地面的高度约为 3.6 万公里，

以下说法正确的是(　　)

图2

A.若知道引力常量 G及三颗卫星绕地球的运动周期 T，则可估算出地球的密度

B.三颗卫星具有相同大小的加速度

C.三颗卫星绕地球运动的周期一定大于地球的自转周期

D.从每颗卫星可以观察到地球上大于的表面

解析　若知道引力常量 G及三颗卫星绕地球的运动周期 T根据万有引力提供向

心力 G＝mr，得到 M＝，因地球的半径未知，也不能计算出轨道半径 r，不能

计算出地球体积，故不能估算出地球的密度，选项 A错误；根据 G＝ma，由于

三颗卫星到地球的距离相等，则绕地球运动的轨道半径 r相等，则它们的加速

度大小相等，选项 B正确；根据万有引力等于向心力，G＝mr 解得 T＝2π，由

于三颗卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动

的周期大于地球同步卫星绕地球运动的周期，即大于地球的自转周期，选项 C

正确；当等边三角形边与地球表面相切的时候，恰好看到地球表面的，所以本

题中，从每颗卫星可以观察到地球上大于的表面，选项 D正确。

答案　BCD

　赤道上的物体、同步卫星和近地卫星

赤道上的物体、近地卫星、同步卫星的对比

比较内容赤道上的物体近地卫星同步卫星

向心力来源万有引力的分力万有引力

向心力方向指向地心

重力与万有引力的关系重力略小于万有引

力重力等于万有引力

角速度 ω1＝ω自ω2＝ω3＝ω自

＝

ω1＝ω3＜ω2

线速度 v1＝ω1Rv2＝v3＝ω3(R＋h) ＝

v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)

向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝a3＝ω(R＋h) ＝

a1＜a3＜a2

【例 2】 (2019·青海西宁三校联考)如图 3所示，a为放在赤道上相对地球静止的

物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人

造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于 a、b、c的说

法中正确的是(　　)

图3

A.b卫星转动线速度大于 7.9 km/s

B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 aa＞ab＞ac

C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为 Tc＞Tb＞Ta

D.在b、c中，b的速度大

解析　b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有

G＝m，解得 v＝，代入数据得 v＝7.9 km/s，故 A错误；地球赤道上的物体与同

步卫星具有相同的角速度，所以 ωa＝ωc，根据 a＝rω2知，c的向心加速度大于

a的向心加速度，根据 a＝得 b的向心加速度大于 c的向心加速度，即 ab＞ac＞

aa，故 B错误；卫星 c为同步卫星，所以 Ta＝Tc，根据 T＝2π 得c的周期大于 b

的周期，即 Ta＝Tc＞Tb，故 C错误；在 b、c中，根据 v＝，可知 b的速度比 c的

速度大，故 D正确。

答案　D

1.有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面

附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转

周期为 24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图 4所

示，则下列关于卫星的说法中正确的是(　　)

图4

A.a的向心加速度等于重力加速度 g

B.c在4 h 内转过的圆心角为

C.b在相同的时间内转过的弧长最长

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摘要：

专题　天体运动的“四个热点”问题　双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图1所示。图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。2.多星模型模型三星模型(正三角形排列)三星模型(直线等间距排列)四星模型图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力【例1】(多选)(2018·全国Ⅰ卷，2...

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